モノイドの表示

代数学において、モノイドの表示（または半群の表示）とは、生成元の集合Σと、 Σによって生成される自由モノイドΣ ^∗（または自由半群Σ ⁺ ）上の関係の集合を用いて、モノイド（または半群）を記述することです。モノイドは、これらの関係による自由モノイド（または自由半群）の商として表示されます。これは、群論における群の表示に類似しています。

数学的構造として、モノイド表現は文字列書き換えシステム（セミ・テューシステムとも呼ばれる）と同一である。すべてのモノイドはセミ・テューシステム（無限アルファベット上の場合もある）で表現できる。^{[ 1 ]}

プレゼンテーションと表現を混同してはならない。

これらの関係は、 Σ ^∗上の（有限）二項関係Rとして与えられます。商モノイドを形成するために、これらの関係は次のようにモノイド合同式に拡張されます。

まず、 Rの対称閉包R ∪ R ^{− 1}を取る。次に、 ( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻ 1 である文字列u , v , s , t ∈ Σ ∗^に対してx ~ _E yとなるのは、 x = sutかつy = svt^となる場合のみであると定義することにより、対称関係E ⊂ Σ ^∗ × Σ ∗^に拡張する。最後に、 Eの反射的かつ推移的な閉包を取ると、それはモノイド合同となる。

典型的な状況では、関係Rは単純に一連の方程式として与えられ、${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots ,u_{n}=v_{n}\}}$したがって、例えば、

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

は二環式モノイドの等式表現であり、

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

は次数2のプラクティックモノイド（無限位数を持つ）である。このプラクティックモノイドの要素は次のように表すことができる。${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$整数i、j、kに対して、関係式からba はaとbの両方と可換であることがわかります。

逆モノイドと半群の表示は、ペアを使用して同様の方法で定義できます。

${\displaystyle (X;T)}$

どこ

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

は、対合を持つ自由モノイドである。${\displaystyle X}$、 そして

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

は単語間の二項関係である。$\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$ （それぞれ$\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$Tによって生成される同値関係(それぞれ、合同関係) 。

この一対のオブジェクトを用いて逆モノイドを定義する。

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

させて$\displaystyle \rho _{X}}$ワーグナーの一致は${\displaystyle X}$逆モノイドを定義する

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

提供：${\displaystyle (X;T)}$として

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

前の議論では、すべての箇所を置き換えると$\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$と$\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$逆半群の表示を得る${\displaystyle (X;T)}$そして逆半群${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$提供：${\displaystyle (X;T)}$。

些細だが重要な例として、上の自由逆モノイド（または自由逆半群）が挙げられる。${\displaystyle X}$通常は で表される${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$（それぞれ${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$）は、によって定義されます。

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

または

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

• ジョン・M・ハウイー著『半群理論の基礎』（1995年）、クラレンドン・プレス、オックスフォード、ISBN 0-19-851194-9
• M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、モノイド、アクトとカテゴリー、リース積とグラフへの応用、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000、ISBN 3-11-015248-7。
• ロナルド・V・ブック、フリードリヒ・オットー著『文字列書き換えシステム』、シュプリンガー、1993年、ISBN 0-387-97965-4第7章「代数的性質」