ムネヴの普遍性定理

数学において、ムネフの普遍性定理は、代数的（または半代数的）多様体を向き付けられたマトロイドの実現空間として表現するために用いられる、組み合わせ論と代数幾何学の交点における結果である。^{[ 1 ] [ 2 ]} 非公式には、固定された組み合わせ論の点配置は任意に複雑な振る舞いを示すことができるという記述として理解することもできる。正確な記述は以下のとおりである。

させて${\displaystyle V}$半代数多様体である$\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$整数上で定義される。すると${\displaystyle V}$これは、ある有向マトロイドの実現空間と安定的に等価である。

この定理は、ニコライ・ムネフが1986年の博士論文で発見したものである。

本稿では、有限部分集合の向き付けられたマトロイドを次のように定義する。${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$は、${\displaystyle S}$超平面によって誘発される$\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$（各方向超平面分割）${\displaystyle S}$超平面の「正側」の点、超平面の「負側」の点、および超平面上​​にある点に分割します。特に、向き付けられたマトロイドは、次の接続関係の完全な情報を含んでいます。${\displaystyle S}$誘発する${\displaystyle S}$マトロイド構造。

有向マトロイドの実現空間は、点のすべての配置の空間である。${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$同じ向きのマトロイド構造を誘導する。

本稿では、半代数集合の安定同値性を以下のように定義する。

させて${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$半代数集合であり、連結した半代数集合の非交和として得られる。

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}\,}$そして${\displaystyle \,V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

私たちはこう言います${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$同相写像が存在する場合、それらは合理的に同値である。$\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to V_{i}}$有理写像によって定義される。

させて${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n+d},V\subset {\mathbb {R} }^{n}}$半代数集合である、

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}\,}$そして${\displaystyle \,V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

と${\displaystyle U_{i}}$マッピング先${\displaystyle V_{i}}$自然投影の下で${\displaystyle \pi }$最後の${\displaystyle d}$座標。${\displaystyle \pi :U\to V}$整数多項式マップ が存在する場合、それは安定な射影である。$$\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{\ell },\psi _{1},\dots ,\psi _{m}:\;{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{d}}$$ そのため $${\displaystyle U_{i}=\{(v,v')\in {\mathbb {R} }^{n+d}\mid v\in V_{i}{\text{ かつ }}\langle \varphi _{a}(v),v'\rangle >0,\langle \psi _{b}(v),v'\rangle =0{\text{ for }}a=1,\dots ,\ell ,b=1,\dots ,m\}.}$$ 安定同値性とは、安定射影と有理同値性によって生成される半代数的部分集合上の同値関係である。

ムネフの普遍性定理は、ローラン・ラフォルグ、ラヴィ・ヴァキルらによって代数幾何学において数多くの応用がなされており、任意の悪い振る舞いをするモジュライ空間を構成することができる。この定理は、ケンペの普遍性定理とともに、カポヴィッチとミルソンによって連結と配置のモジュライ空間の研究にも用いられている。 ^{[ 3 ]}

ムネフの普遍性定理は、凸多面体の普遍性定理も生み出す。この定理は、すべての半代数集合が何らかの凸多面体の実現空間と安定的に同値であることを述べている。ユルゲン・リヒター＝ゲーベルトは、普遍性がすでに4次元の多面体にも適用されることを示した。^{[ 4 ]}

• ブランコ・グリュンバウム著『凸多面体』（改訂版）は、定理とその多面体の組み合わせ構造からの実現可能性との関係に関する内容を含む書籍です。
• Vakil, Ravi (2006)、「代数幾何学におけるマーフィーの法則：性質の悪い変形空間」、Inventiones Mathematicae、164 (3): 569–590、arXiv : math/0411469、Bibcode : 2006InMat.164..569V、doi : 10.1007/s00222-005-0481-9、MR 2227692、S2CID 7262537  
• Richter-Gebert、Jürgen (1995)、「ムネフの普遍性定理再考」、Séminaire Lotharingien de Combinatoire、34、Article B34h、MR 1399755