ミルン・トムソン円定理

流体力学において、ミルン・トムソンの円定理または円定理は、流体の中に円筒を置いたときに流体の流れに新しい流れ関数を与える定理です。 ^{[1] [2]この定理は}イギリスの数学者LMミルン・トムソンにちなんで名付けられました。

を流体の流れの複素ポテンシャルとすると、のすべての特異点は 内にある。その流れに円を配置すると、新しい流れの複素ポテンシャルは^{[3]で与えられる。}${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |z|>a}$${\displaystyle |z|=a}$

${\displaystyle w=f(z)+{\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}=f(z)+{\overline {f}}\left({\frac {a^{2}}{z}}\right).}$

およびと 同じ特異点を持つ流線である。円 上では、であるため、 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |z|>a}$${\displaystyle |z|=a}$${\displaystyle |z|=a}$${\displaystyle z{\bar {z}}=a^{2}}$

${\displaystyle w=f(z)+{\overline {f(z)}}.}$

速度が正の方向に流れる一様な非回転流を考え、流れの中に半径の無限に長い円筒を置き、円筒の中心を原点に置く。すると、円定理を用いると、 ${\displaystyle f(z)=Uz}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)={\frac {Ua^{2}}{\bar {z}}},\ \Rightarrow \ {\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}={\frac {Ua^{2}}{z}}}$

${\displaystyle w(z)=U\left(z+{\frac {a^{2}}{z}}\right)}$

円筒上の均一な流れの複雑なポテンシャルを表します。

• 潜在的フロー
• 等角写像
• 速度ポテンシャル
• 正則関数を求めるミルン・トムソン法