ローウィリング

数学において、左 (右)ローウィ環 (Loewy ring)または左 (右)半アルティン環 (semi-Artinian ring)は、すべての非ゼロの左 (右)加群が非ゼロの底を持つ環、またはすべての左 (右) 加群のローウィ長が定義されている環である。この概念はアルフレッド・ローウィにちなんで名付けられている。

ローウィ長さとローウィ級数は、エミール・アルティン、セシル・J・ネスビット、ロバート・M・スロール (1944) によって導入されました。

Mが加群である場合、順序数α に対するLoewy級数M _{α を}M ₀  = 0、M _α+1 / M _α  = socle( M / M _α )、およびα が極限順序数である場合はM _α  = ∪ _λ<α M _{λで定義します}。Mの Loewy 長さは、存在する場合、 M  =  M _αとなる最小の α として定義されます。  

${\displaystyle {}_{R}M}$が半アルティン加群であるとは、すべてのエピモダイス に対して、 の底が において本質的であるときである。${\displaystyle M\rightarrow N}$${\displaystyle N\neq 0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N.}$

がアーティニアン加群である場合、はセミアーティニアン加群であることに注意してください。明らかに 0 はセミアーティニアンです。 ${\displaystyle {}_{R}M}$${\displaystyle {}_{R}M}$

が正確な場合、 とは、 が半アーティニアンである場合に限り、半アーティニアンになります。 ${\displaystyle 0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M''}$${\displaystyle M}$

が -加群である場合、 が半アーティニアンであることと、 がすべての に対して半アーティニアンであることは同値である。${\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \oplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle M_{j}}$${\displaystyle j\in I.}$

${\displaystyle R}$が半アーティニアンである場合、 は左半アーティニアンと呼ばれます。つまり、任意の左イデアルに対して、が単純サブモジュールを含む場合、 は左半アーティニアンです。 ${\displaystyle _{R}R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$

左半アルティニアンであるからといって、左アルティニアンであるわけではないことに注意してください。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

• アセム、イブラヒム、シムソン、ダニエル、スコウロンスキ、アンジェイ (2006)、「結合代数の表現理論の要素。第 1 巻: 表現理論の技法」、ロンドン数学会学生テキスト、第 65 巻、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-58631-3、Zbl  1092.16001
• アルティン、エミル、ネスビット、セシル J.、スロール、ロバート M. (1944)、最小条件付きリング、ミシガン大学数学出版物、第 1 巻、ミシガン州アナーバー: ミシガン大学出版局、MR  0010543、Zbl  0060.07701
• ナスタセスク、コンスタンティン。 Popescu、Nicolae (1968)、「Anneaux semi-artiniens」、Bulletin de la Société Mathématique de France、96 : 357–368、ISSN  0037-9484、MR  0238887、Zbl  0227.16014
• ナスタセスク、コンスタンティン。 Popescu、Nicolae (1966)、「Sur la Structure des objets de somees catégories abéliennes」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série A、262、GAUTHIER-VILLARS/EDITIONS ELSEVIER 23 RUE LINOIS、75015 PARIS、FRANCE: A1295–A1297