李の基準

数論において、リーの基準は、リーマン予想と同等の、ある特定の数列の正値性に関する特定の記述である。この基準は、1997 年にそれを発表した Xian-Jin Li にちなんで名付けられた。1999 年に、Enrico BombieriとJeffrey C. Lagarias は一般化を行い、リーの正値性条件は Re( s ) = 1/2 軸上にある任意の点の集合に適用できることを示した。

リーマンξ関数は次のように与えられる 。

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

ここでζはリーマンゼータ関数である。次の数列を考える。

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}.}$

リーの基準は、

リーマン予想は、任意の正の整数 に対して となるという主張と同等です。${\displaystyle \lambda _{n}>0}$${\displaystyle n}$

これらの数値（わずかに異なる正規化で定義されることもある）は、Keiper-Li 係数または Li 係数と呼ばれる。また、リーマン ゼータ関数の非自明なゼロを使って表現されることもある。 ${\displaystyle \lambda_{n}}$

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

ここで、和はゼータ関数の非自明な零点ρにわたって広がる。この条件付き収束和は、数論で通常使用される意味で理解されるべきである。すなわち、

${\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{N\to \infty }\sum _{|\operatorname {Im} (\rho )|\leq N}.}$

（Re( s )とIm( s )はそれぞれsの実部と虚部を表す。）

の正値は直接計算によって検証されています。 ${\displaystyle \lambda_{n}}$${\displaystyle n=10^{5}}$

ご了承ください。 ${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|<1\Leftrightarrow |\rho -1|<|\rho |\Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$

次に、関数全体から始めて、 とします。 ${\displaystyle f(s)=\prod _{\rho }{\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}}$${\displaystyle \phi (z)=f\left({\frac {1}{1-z}}\right)}$

${\displaystyle \phi}$のとき、 は消滅します。したがって、が単位円板上で正則である場合との場合とで同じです。 ${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\rho \Leftrightarrow z=1-{\frac {1}{\rho }}}$${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$

テイラー級数 を書きます。 ${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$

${\displaystyle \log \phi (z)=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho (1-z)}}\right)}=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho }}-z\right)-\log(1-z)}}$

我々は持っています

${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{\rho }{{\frac {1}{1-z}}-{\frac {1} {1-{\frac {1}{\rho }}-z}}}$

となることによって

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n-1}}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{1-\rho }}\right)^{n+1}}}$。

最後に、各ゼロが複素共役と対になっている場合、項を組み合わせて ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\bar {\rho}}}$

すると、条件は と等しくなります。( 1 )の右辺は、と の両方の場合には明らかに非負です。逆に、を で並べると、 のときに最大の項 ( ) が合計を支配するため、負になることがあることがわかります。P . Freitas (2008)。「リーマンのゼータ関数のゼロ自由半平面に対する Li 型基準」。arXiv : math.MG/0507368。${\displaystyle Re(\rho )\leq 1/2}$${\displaystyle \lim \sup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n}\leq 1}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|\leq 1\Leftrightarrow \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|}$${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|>1}$${\displaystyle \Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle c_{n}}$

ボンビエリとラガリアスは、同様の基準が任意の複素数の集合に対して成り立つことを示し、したがってリーマン予想に限定されないことを示しています。より正確には、R  = { ρ } を、 ρ = 1 を含まない任意の複素数ρの集合とし 、次式を満たします 。

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {1+\left|\operatorname {Re} (\rho )\right|}{(1+|\rho |)^{2}}}<\infty .}$

すると、そのような集合について、いくつかの同等のステートメントを作成できます。そのようなステートメントの 1 つは次のとおりです。

ρに対して、${\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )\leq 1/2}$

${\displaystyle \sum _{\rho }\operatorname {Re} \left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n}\right]\geq 0}$

すべての正の整数 n に対して。

集合R が置換s  ↦ 1 −  sの下で特定の関数方程式に従う場合、より興味深い記述ができるかもしれません。つまり、 ρ がRにあるときはいつでも、複素共役と が両方ともRにある場合、 Li の基準は次のように述べることができます。 ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$${\displaystyle 1-\rho }$

ρに対してRe( ρ ) = 1/2となるのは、

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\geq 0}$

すべての正の整数 n に対して。

ボンビエリとラガリアスはまた、リーの基準がリーマン予想に対する ヴェイユの基準に従うことも示している。

• アリアス・デ・レイナ、フアン（2011）。 「Keiper-Li 係数の漸近線」。関数と近似の数学的解説。45 (1): 7-21。土井：10.7169/facm/1317045228。

• ボンビエリ、エンリコ、ラガリアス、ジェフリー C. ( 1999 )。「リーマン予想に対するリーの基準の補足」。数論ジャーナル。77 (2): 274–287。doi : 10.1006/jnth.1999.2392。MR  1702145 。

• Johansson, Fredrik (2015). 「Hurwitz ゼータ関数とその導関数の厳密な高精度計算」.数値アルゴリズム. 69 (2): 253–270. arXiv : 1309.2877 . doi :10.1007/s11075-014-9893-1. S2CID  10344040.

• Keiper, Jerry B (1992). 「リーマンの𝜉関数のべき級数展開」.計算数学. 58 (198): 765–773. doi :10.2307/2153215. JSTOR  2153215.

• ラガリアス、ジェフリー C. (2004)。 「保型 L 関数の Li 係数」。フーリエ研究所の分析。57 (2007): 1689–1740。arXiv : math.MG/0404394。Bibcode :2004math....4394L。土井：10.5802/aif.2311。S2CID  16385403。

• Li, Xian-Jin (1997). 「数列の正値性とリーマン予想」.数論ジャーナル. 65 (2): 325–333. doi : 10.1006/jnth.1997.2137 . MR  1462847.