レスターの定理

ユークリッド平面 幾何学において、レスターの定理は、任意の不等辺三角形において、２つのフェルマー点、９点の中心、および外心が 同じ円上にあることを述べています。この結果は、1997年にこれを発表したジューン・レスターにちなんで名付けられ、^[1]これらの点を通る円はクラーク・キンバリングによってレスター円と名付けられました。^{[2]レスターは}複素数 の性質を用いてこの結果を証明し、その後の著者らは初等的な証明^{[3] [4] [5] [6]}、ベクトル演算を用いた証明^[7]、およびコンピュータによる証明を与えました。^[8]レスター円の中心も三角形の中心です。これは、三角形の中心百科事典でX(1116)として指定されている中心です。^{[9]最近、ピーター・モーゼスは}、レスター円上にある他の21個の三角形の中心を発見しました。これらの点は、三角形の中心百科事典ではX(15535) - X(15555)と番号が付けられている。^[10]

2000年、ベルナール・ジベールは三角形のキーパート双曲線に関するレスター定理の一般化を提案した。彼の結果は次のように述べられる：「キーパート双曲線の弦の直径を持ち、三角形のオイラー直線に垂直なすべての円は、フェルマー点を通る。 」 ^{[11] [12]}

2014 年、Dao Thanh Oai は Gibert の結果をあらゆる直角双曲線に拡張しました。一般化は以下のとおりです。および を直角双曲線の一方の枝上に置き、 およびを双曲線上で中心に関して対称な 2 点 (対心点) とし、これらの点における接線は直線 に平行とします。および を、接線が直線 上の点で交差する双曲線上の 2 点とします。直線が で交差し、の垂直二等分線が双曲線とおよび で交差する場合、6 点、、 は円上にあります。直角双曲線 が Kiepert 双曲線で、とが2 つのフェルマー点である場合、Dao の一般化は Gibert の一般化になります。^{[12] [13]}${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{+}}$${\displaystyle F_{-}}$${\displaystyle HG}$${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle HG}$${\displaystyle K_{+}K_{-}}$${\displaystyle HG}$${\displaystyle D}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle G_{+}}$${\displaystyle G_{-}}$${\displaystyle F_{+}}$${\displaystyle F_{-},}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{+}}$${\displaystyle G_{-}}$${\displaystyle F_{+}}$${\displaystyle F_{-}}$

2015 年、Dao Thanh Oai は、今度はノイバーグ三次方程式に関連したレスター円の別の一般化を提案しました。これは次のように述べることができます。をノイバーグ三次方程式上の点とし、 を直線 における反射とし、と を巡回的に定義します。直線、、 は、で示される点で一致することが知られています。4 つの点、、、 は円上にあります。が点 のとき、 であることがわかっているため、Dao の一般化はレスター定理の言い換えになります。^{[13] [14] [15] [16]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle P_{B}}$${\displaystyle P_{C}}$${\displaystyle AP_{A}}$${\displaystyle BP_{B}}$${\displaystyle CP_{C}}$${\displaystyle Q(P)}$${\displaystyle X_{13}}$${\displaystyle X_{14}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X(3)}$${\displaystyle Q(P)=Q(X_{3})=X_{5}}$

• パリーサークル
• 形状 § 類似度クラス
• ヴァン・ラモエンサークル

• Weisstein、Eric W.「Lester Circle」。MathWorld。