ルベーグの密度定理

数学において、ルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合に対して、$\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$、密度${\displaystyle A}$ほぼすべての点で 0 または 1 です$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$さらに、「密度」${\displaystyle A}$ほぼすべての点で 1 です${\displaystyle A}$直感的に言えば、これは境界が${\displaystyle A}$点の集合${\displaystyle A}$すべての地域が部分的に${\displaystyle A}$一部は屋外${\displaystyle A}$は、測度がゼロである。

させて${\displaystyle \mu }$ユークリッド空間上のルベーグ測度とし、$\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$をルベーグ可測集合とする。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle B}$_ε${\displaystyle (x)}$半径の開いた球を表す${\displaystyle \varepsilon }$中心は${\displaystyle x}$点における密度を定義する${\displaystyle x}$

$$\displaystyle \qquad \qquad d_{A}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$$

例えば、平面上の正方形を考えてみましょう。正方形内部の点における密度は1、辺上の点における密度は1/2、角上の点における密度は1/4です。密度が0でも1でもない平面上の点の集合は空集合ではありません（正方形の境界）。ただし、その測度は0です。

ルベーグ密度定理は、ルベーグ微分定理の特殊な場合である。

したがって、この定理は、上のすべての有限ボレル測度に対しても成り立つ。$\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$フェデラーの『幾何学的測度論』 （1969年）の2.8～2.9節で証明されているように、ルベーグ測度の代わりに。

• ルベーグ微分定理– 実解析における数学定理 

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