点集合論におけるクラトフスキーの閉包補集合問題は、位相空間の与えられた開始部分集合に閉包と補集合の集合演算を繰り返し適用することで得られる異なる集合の最大個数を求める問題である。答えは 14 である。この結果は、1922 年にカジミエシュ・クラトフスキーによって初めて公表された。 [1]これは、クラトフスキーの基礎モノグラフTopologie (フランス語で最初に出版されたのは 1933 年、最初の英語訳は 1966 年) でさらに紹介され、その後、ジョン・L・ケリーの 1955 年の古典である一般位相幾何学の教科書の演習問題として有名になった。[2]
証拠
位相空間の任意の部分集合を とすると、の閉包を、の補集合を と書きます。次の 3 つの恒等式は、14 個を超える異なる集合は得られないことを意味します。
（閉包演算はべき等です。）
（補数演算は反転です。）
（または同等に、恒等式（2）を使用）。
最初の 2 つは自明です。3 番目は、の内部がの補集合の閉包の補集合に等しい恒等式から得られます。(演算はべき等です。)
最大値 14 を実現する部分集合は14 集合と呼ばれます。通常の位相における実数空間には14 集合が含まれます。次に例を示します。
![{\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f7724035dc07d8e83b1e51da4248750f7ad4a6)
ここで は開区間を表し、 は閉区間を表します。 をこの集合とします。すると、次の 14 個の集合にアクセスできます。
![{\displaystyle [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29536dee83347f147536b73557908dfe3761c34d)
- 、上記に示したセット。
![{\displaystyle cX=(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup {\bigl (}(4,5)\setminus \mathbb {Q} {\bigr )}\cup (5,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b64ee9368130c9da3530beed9501c2c903b200)
![{\displaystyle kcX=(-\infty,0]\cup \{1\}\cup [2,\infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a73832eb7c41aab31c7db57167614f858f1992)
![{\displaystyle kckcX=[0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f445951e2ee260afb41b6fe3b641448e7b33bf03)
![{\displaystyle kckckcX=(-\infty ,0]\cup [2,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9225757cf8cbe733443a588f6814c4abe3a7485d)
![{\displaystyle kX=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8601c39f3544f0faf1018163a0f0cdfdf1627197)
![{\displaystyle kckX=(-\infty ,0]\cup [2,4]\cup [5,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3697ee45cdc26e416e584025c3392e77cfcaaed5)
![{\displaystyle kckckX=[0,2]\cup [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b3b4d62c457ddcb5ffe60d6b5a7ea65c23d15b)
さらなる結果
クラトフスキーの閉包補数問題は位相空間の文脈で生まれたが、実際には位相的というよりは代数的である。1960年以降、驚くほど多くの関連した問題と結果が生まれてきたが、その多くは点集合位相とはほとんど関係がないか、まったく関係がない。[3]
閉包補数演算は位相空間を分類するために使用できるモノイドを生成する。 [4]
参考文献
- ^ クラトフスキ、カジミエシュ(1922)。 「状況分析作戦」(PDF)。数学の基礎。３．ワルシャワ: ポーランド科学アカデミー: 182–199。土井：10.4064/fm-3-1-182-199。ISSN 0016-2736。
- ^ ケリー、ジョン(1955)。一般位相幾何学。ヴァン・ノストランド。p. 57。ISBN 0-387-90125-6。
- ^ ハマー、PC (1960)。 「クラトフスキーの閉塞定理」。ウィスクンデの新しい大首領。８．オランダ王立数学協会: 74–80。ISSN 0028-9825。
- ^ Schwiebert, Ryan (2017). 「環のラジカル消滅モノイド」. Communications in Algebra . 45 (4): 1601–1617. arXiv : 1803.00516 . doi :10.1080/00927872.2016.1222401. S2CID 73715295.
外部リンク
