カイパーテスト

カイパー検定は統計学において、データサンプルが特定の分布から来ているかどうか（1標本カイパー検定）、または2つのデータサンプルが同じ未知の分布から来ているかどうか（2標本カイパー検定）を検定するために使用されます。この検定はオランダの数学者ニコラース・カイパーにちなんで名付けられました。^[1]

カイパー検定は、よりよく知られているコルモゴロフ・スミルノフ検定(KS 検定とも呼ばれる) と密接に関連しています。KS 検定と同様に、不一致統計量D ⁺およびD ^{− は、比較されている 2 つの}累積分布関数間の最も正の差と最も負の差の絶対サイズを表します。カイパー検定の秘訣は、検定統計量として量D ⁺  +  D ^{− を}使用することです。この小さな変更により、カイパー検定は裾でも中央値と同じくらい敏感になり、独立変数の循環変換に対して不変になります。アンダーソン・ダーリング検定は、裾でも中央値と同じ感度を提供する別の検定ですが、循環不変性は提供しません。

この周期的変換に対する不変性により、カイパー検定は、年や曜日、または時刻による周期的変動を検定する場合、またより一般的には、円形確率分布の適合度や分布間の差異を検定する場合に非常に役立ちます。

カイパー検定の1標本検定統計量 は次のように定義される。F を連続累積分布関数とし、帰無仮説とする。F _nを、 n 個の独立かつ同一分布（iid）の観測値X _iに対する経験分布関数と表し、次のように定義される。 ${\displaystyle V_{n}}$

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {{\text{(サンプル内の要素の数}}\leq x)}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

ここで、は指示関数であり、 の場合は 1 、 以外の場合は 0 になります。${\displaystyle 1_{(-\infty,x]}(X_{i})}$${\displaystyle X_{i}\leq x}$

すると、与えられた累積分布関数F ( x ) に対する片側コルモゴロフ・スミルノフ 統計量は

${\displaystyle D_{n}^{+}=\sup _{x}[F_{n}(x)-F(x)],}$

${\displaystyle D_{n}^{-}=\sup _{x}[F(x)-F_{n}(x)],}$

ここで は上限関数です。そして最後に、1標本カイパー検定は次のように定義されます。 ${\displaystyle \sup}$

${\displaystyle V_{n}=D_{n}^{+}+D_{n}^{-},}$

または同等

${\displaystyle V_{n}=\sup_{x}[F_{n}(x)-F(x)]-\inf_{x}[F_{n}(x)-F(x)],}$

ここで は最小値関数です。 ${\displaystyle \inf}$

検定統計量の臨界点の表が利用可能であり、^[2]これらには検定対象の分布が完全には分かっていない特定のケースが含まれており、そのため分布族のパラメータは推定される。 ${\displaystyle V_{n}}$

統計量の漸近分布は次のように与えられる。^[1]${\displaystyle {\sqrt {n}}V_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} ({\sqrt {n}}V_{n}\leq x)=&1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}(4k^{2}x^{2}-1)e^{-2k^{2}x^{2}}\\&+{\frac {8}{3{\sqrt {n}}}}x\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(4k^{2}x^{2}-3)e^{-2k^{2}x^{2}}+o({\frac {1}{n}}).\end{aligned}}}$

については、級数の最初の項から次のように妥当な近似値が得られる。 ${\displaystyle x>{\frac {6}{5}}}$

${\displaystyle 1-2(4x^{2}-1)e^{-2x^{2}}+{\frac {8x}{3{\sqrt {n}}}}(4x^{2}-3)e^{-2x^{2}}.}$

カイパー検定は、実線または円上のランダムサンプルのペアが、共通だが未知の分布から来ているかどうかを検定するためにも使用できます。この場合、カイパー統計量は

${\displaystyle V_{n,m}=\sup _{x}[F_{1,n}(x)-F_{2,m}(x)]-\inf _{x}[F_{1,n}(x)-F_{2,m}(x)],}$

ここで、 およびはそれぞれ第 1 および第 2 サンプルの経験分布関数、は上限関数、 は下限関数です。 ${\displaystyle F_{1,n}}$${\displaystyle F_{2,m}}$${\displaystyle \sup}$${\displaystyle \inf}$

一年のうちのある時期には、他の時期よりもコンピュータの故障が多くなるという仮説を検定することができます。これを検定するには、コンピュータのテストセットが故障した日付を収集し、経験分布関数を構築します。帰無仮説は、故障が均一に分布しているというものです。カイパーの統計量は、年初を変更しても変化せず、故障を月ごとに分類する必要もありません。^{[1] [3]}この特性を持つ別の検定統計量はワトソン統計量^{[3] [4]で、これは}クラマー・フォン・ミーゼス検定に関連しています。

ただし、障害が主に週末に発生する場合、週末は年間を通じて分散しているため、KS や Kuiper などの多くの均一分布テストではこれを見逃すことになります。櫛状の形状の分布と連続した均一分布を区別できないことは、KS テストのバリアントに基づくすべての統計の主要な問題です。1 週間を法とするイベント時間に適用された Kuiper のテストは、このようなパターンを検出できます。KS テストで調整されたイベント時間を使用すると、データの位相に応じて異なる結果が生じる可能性があります。この例では、データが週の始まりを土曜日に設定している場合は KS テストで不均一性を検出できますが、週の始まりを水曜日に設定している場合は不均一性を検出できません。

• コルモゴロフ・スミルノフ検定