クラウチュク行列

数学において、クラウトチョーク行列は、その要素が非負の整数点におけるクラウトチョーク多項式の値を要素とする行列である。 ^{[1] [2]}クラウトチョーク行列K ^{( N )は、} ( N + 1) × ( N + 1)行列である。最初のいくつかのクラウトチョーク行列は以下のとおりである。

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right],}$

${\displaystyle K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\right[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\right[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\right[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\right[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\right[5&3&1&-1&-1&-3&5\right[10&2&-2&-2&2&10\right[10&2&-2&-2&2&2&10\right[5&3&1&1&-3&5\right[10&2&-2&-2&2&10\right]}$

一般に、正の整数 の場合、エントリは生成関数によって与えられます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle K_{ij}^{(N)}}$

${\displaystyle (1+v)^{Nj}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(N)},}$

ここで、行と列のインデックスはからまでです。明示的には、次の ようになります。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\sum _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {Nj}{ik}},}$

またはKrawtchouk多項式で表すと次のようになります。

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).}$

クラウチョク行列の値は、再帰関係を使用して計算することもできます。一番上の行に1を、一番右の列に交互の二項係数を入力すると、他のエントリはそれぞれ、上、右上、右に隣接するエントリの合計によって与えられます。^[3]

クラウチュク多項式は対称二項分布に対して直交する。[ ^4]${\displaystyle p=1/2}$

変換として、Krawtchouk 行列はスケーリングまでの 反転です。

${\displaystyle (K_{ij}^{(N)})^{2}=2^{N}I.}$

クラウチョク行列は、三角パスカル行列と2の累乗の対角行列を含むLDU分解を持つ^。[5]

固有値は であり、行列式は である。^[5]${\displaystyle \pm {\sqrt {2^{n}}}}$${\displaystyle (-2)^{n(n+1)/2}}$

• クラウチュク多項式
• パスカル行列

• クロフチュク百科事典