イズベルのジグザグ定理

イズベルのジグザグ定理は、抽象代数の定理で、支配領域の概念を特徴づけるもので、1966年にアメリカの数学者ジョン・R・イズベルによって導入されました。 ^{[1]支配領域は、}エピモーフィズムの性質の研究における半群論の概念です。例えば、U がU を含むSの部分半群であるとすると、包含写像がエピモーフィズムであるための必要十分条件は であり、さらに、写像がエピモーフィズムであるための必要十分条件は です。^{[2]環と半群の圏は、非全射}エピモーフィズムを持つ圏の例であり、ジグザグ定理は、与えられた射がエピであるかどうかを判断するための必要十分条件を与えます。^[3]この定理の証明は位相的な性質を持ち、イズベル (1966) による半群の証明に始まり、フィリップ (1974) によって継続され、イズベルの最初の証明が完了しました。^{[3] [4] [5]}純粋代数的証明はHowie（1976）とStorrer（1976）によって与えられた。^{[3] [4] [注1]} ${\displaystyle U\hookrightarrow S}$${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}$${\displaystyle \alpha \colon S\to T}$${\displaystyle {\rm {{Dom}_{T}({\rm {{im}\;\alpha )=T}}}}}}$

ジグザグ: ^{[7] [2] [8] [9] [10] [注 2]} Uがモノイドのサブモノイド（または半群のサブ半群）Sである場合、等式系が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=x_{1}u_{1},&u_{1}&=v_{1}y_{1}\\x_{i-1}v_{i-1}&=x_{i}u_{i},&u_{i}y_{i-1}&=v_{i}y_{i}\;(i=2,\dots ,m)\\x_{m}v_{m}&=u_{m+1},&u_{m+1}y_{m}&=d\end{aligned}}}$

ここで、およびは、長さmでU上のS上に存在する、値dを持つジグザグと呼ばれます。ジグザグの背骨とは、順序付けられた(2m + 1)組を意味します。 ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{m+1},v_{1},\dots ,v_{m}\in U}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}\in S}$${\displaystyle (u_{1},v_{1},u_{2},v_{2},\dots ,u_{m},v_{m},u_{m+1})}$

支配元: ^{[5] [6]} U をモノイドSのサブモノイド（または半群のサブ半群）とする。支配元とは、U 上で一致するすべての準同型に対して、 となるすべての元の集合である。${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f,g:S\to T}$${\displaystyle f(s)=g(s)}$

半群Uの部分半群Uがのとき閉群といい、 のとき稠密群という。^{[2] [12]}${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=U}}}$${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}$

イズベルのジグザグ定理: ^[13]

UがモノイドSのサブモノイドである場合、またはSにU上のジグザグが存在し、その値がdである場合、つまり、dの因数分解の列が次の形式 である。${\displaystyle d\in {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$${\displaystyle d\in U}$

${\displaystyle d=x_{1}u_{1}=x_{1}v_{1}y_{1}=x_{2}u_{2}y_{1}=x_{2}v_{2}y_{2}=\cdots =x_{m}v_{m}y_{m}=u_{m+1}y_{m}}$

この主張は半群についても成り立つ。^{[7] [14] [9] [4] [10]}

モノイドの場合、この定理はより簡潔に書くことができる: ^{[15] [2] [16]}

S をモノイド、U をSのサブモノイドとし、 とします。このとき、テンソル積においてが成り立つ場合のみ、 が 成り立ちます。 ${\displaystyle d\in S}$${\displaystyle d\in \mathrm {Dom} _{S}(U)}$${\displaystyle d\otimes 1=1\otimes d}$ ${\displaystyle S\otimes _{U}S}$

• Uを半群Sの可換部分半群とする。このとき、は可換である。^[10]${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$
• 有限可換半群Sから別の半群Tへのすべての射影は射影的である。^[10]${\displaystyle \alpha \colon S\to T}$
• 逆半群は絶対的に閉じている。^[7]
• 環のカテゴリにおける非全射的エピモフィズムの例: ^[3] 包含は、一致する任意の環準同型のペアが事実上等しいことを証明することにより、すべての環と環準同型のカテゴリにおけるエピモフィズムです。${\displaystyle i:(\mathbb {Z} ,\cdot )\hookrightarrow (\mathbb {Q} ,\cdot )}$ ${\displaystyle \beta ,\gamma :\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• エピモルフィズム

• Nicol, Andrew W. 「ジグザグ定理とは何か?」(PDF) S2CID  51745066 。