限りなく近い点

代数幾何学において、代数曲面Sの無限近傍点とは、 Sから点を繰り返し拡大することで得られる曲面上の点である。代数曲面の無限近傍点はマックス・ノイアー（1876）によって導入された 。^[1]

「無限に近い点」には、他にも意味がいくつかあります。無限に近い点は、高次元多様体に対しても定義できます。何を爆発させられるかによって、これを行うにはいくつかの非同値な方法があります。ヴェイユは滑らかな多様体の無限に近い点の定義を与えましたが、^{[2]これは代数幾何学の無限に近い点と同じではありません。}実数直線の延長である超実数直線では、2 つの点の差が無限小である場合、その 2 つの点は無限に近いと呼ばれます。

面S上の点Pにブローアップを適用すると、新しい面S * には、 Pがあった場所に曲線C全体が含まれます。 Cの点は、 PからSへの接線方向として幾何学的に解釈されます。 S *ではなくS上で視覚化する方法の1 つとして、それらはPの無限近くにあると呼ぶことができます。より一般的には、この構築は、新しい曲線C上の点をブローアップするなどして繰り返すことができます。

面S ₀上の無限に近い点( n次) P _nは、面S ₀、S ₁、...、S _n上の点の列P ₀、P ₁、...、P _nで与えられ、 S _iは点P _{i -1で}S _{i -1}を拡大することによって与えられ、P _{i は面}S _i上の点であり、その点は像P _{i -1}を持つ。

特に、曲面S上の点は、位数 0 のS上の無限に近い点です。

無限に近い点は、0 次元の中心を持つSの関数体の 1 次元の評価に対応し、特にザリスキ・リーマン面のいくつかの点に対応します。(1 次元の中心を持つ 1 次元の評価は、 Sの既約曲線に対応します。) この構築を無限に繰り返して、無限に近い点の無限シーケンスP ₀、P ₁、... を生成することもできます。これらの無限シーケンスは、面の関数体の 0 次元の評価に対応し、ザリスキ・リーマン面の「0 次元」の点に対応します。

CとD が滑らかな曲面S上の異なる既約曲線で、点pで交差する場合、 pでの交差の重複度は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{x{\text{ 無限大に近い }}p}m_{x}(C)m_{x}(D)}$

ここで、m _x ( C ) はxにおけるCの重複度です。一般に、CとDがxで共通の接線を持ち、無限に近い 0 より大きい位数の点でも交差する場合、この重複度は_{m p} ( C ) m _p ( D )より大きくなります。たとえば、C が直線y  = 0 で、D が放物線y  =  x ²でp  = (0,0) の場合などです。

Cの種数は次のように与えられる 。

${\displaystyle g(C)=g(N)+\sum _{{\text{無限に近い点 }}x}m_{x}(m_{x}-1)/2}$

ここで、N はCの正規化であり、m _{x は}C上の無限に近い点xの多重度です。

• Neether、M. (1876)、「Ueber die singularen Werthsysteme einer algebraischen Function und die singularen Punkte einer algebraischen Curve」、Mathematische Annalen、9 (2): 166–182、doi :10.1007/BF01443372、S2CID  120376948