インデックス表記法

ベクトルを数値の配列として扱うには、行ベクトルまたは列ベクトルとして記述します（どちらを使用するかは、利便性または状況によって異なります）。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

インデックス表記法では、配列の要素を単に i と記述するだけで示すことができます。ここ_で、インデックスi はn次元であるため、1 からnまで変化することがわかっています。 ^{[ 1 ]} 例えば、次のベクトルが与えられた場合：

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}10&8&9&6&3&5\\\end{pmatrix}}}$

すると、いくつかのエントリは次のようになります。

${\displaystyle a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,\cdots ,\,a_{6}=5}$。

この表記法は、数学や物理学におけるベクトルに適用できます。次のベクトル方程式

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {c} }$

ベクトルの要素（別名成分）で表すこともできます。

${\displaystyle a_{i}+b_{i}=c_{i}}$

ここで、インデックスは特定の範囲の値をとります。この式は、各インデックスに対応する一連の方程式を表します。ベクトルがそれぞれn個の要素を持つ場合、つまりi = 1,2,… n の場合、方程式は明示的に次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=c_{1}\\a_{2}+b_{2}&=c_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{aligned}}}$

したがって、インデックス表記は効率的な省略記法として機能します。

1. 方程式の一般的な構造を表す、
2. 個々の構成要素に適用される。

複数のインデックスは、行列の要素など、2 次元以上の数値配列を記述するために使用されます (右の画像も参照)。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

行列Aの要素は、2 つのインデックスiとjを使用して、インデックスを区切るコンマの有無にかかわらず、a _ijまたはa _i,jと記述されます。ここで、最初の添え字は行番号、2 番目の添え字は列番号です。並置は乗算の表記としても使用されますが、これは混乱の原因となる可能性があります。たとえば、

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}}$

すると、いくつかのエントリは次のようになります。

${\displaystyle a_{11}=9,\,a_{12}=8,\,a_{21}=1,\,\cdots ,\,a_{23}=7,\,\cdots }$。

9より大きいインデックスの場合は、コンマベースの表記の方が望ましい場合があります（例：₃₁₂では_なく3,12 ）。

行列方程式は、ベクトル方程式と同様に記述されます。

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C} }$

行列の要素（別名コンポーネント）の観点から

${\displaystyle A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}}$

iとjのすべての値に対して。この式は、インデックスごとに 1 つの方程式のセットを表します。行列がそれぞれm行n列、つまりi = 1, 2, …, m、j = 1, 2, …, n である場合、方程式はmn個あります。

この表記法では、要素の多次元配列、つまりテンソルへの明確な一般化が可能です。例えば、

$${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots }+B_{i_{1}i_{2}\cdots }=C_{i_{1}i_{2}\cdots }}$$

多数の方程式の集合を表す。

テンソル解析では、共変要素と反変要素を区別するために、下付き文字の代わりに上付き文字が使用されます。ベクトルの共変性と反変性、およびインデックスの上げ下げを参照してください。

複数のインデックスを持つ配列、例えば2次元テーブルを考えると、事態はさらに興味深いものになります。考えられる可能性は3つあります。

• 2次元配列から単一のインデックスを計算することで、2次元配列を1次元にします
• 各要素が別の一次元配列である一次元配列、つまり配列の配列を考えてみましょう。
• 元の配列の各行のアドレス配列を保持するために追加のストレージを使用し、元の配列の各行を個別の1次元配列として格納する。

C言語では、3つの方法すべてを使用できます。最初の方法を使用する場合、プログラマは配列の要素がコンピュータのメモリ内でどのように配置されるかを決定し、各要素の位置を計算する式を提供します。2番目の方法は、各行の要素の数が同じで、プログラム作成時にわかっている場合に使用します。プログラマは、たとえば と記述して、配列に3つの列があることを宣言しますelementtype tablename[][3];。次に、 と記述して、配列の特定の要素を参照しますtablename[first index][second index]。コンパイラは、各行が占有するメモリセルの総数を計算し、最初のインデックスを使用して目的の行のアドレスを見つけ、次に2番目のインデックスを使用して、行内の目的の要素のアドレスを見つけます。3番目の方法を使用する場合、プログラマは、 のように、テーブルをポインタの配列として宣言しますelementtype *tablename[];。その後、プログラマが特定の要素 を指定するとtablename[first index][second index]、コンパイラは、最初のインデックスで指定された行のアドレスを検索し、このアドレスをベースとして、2番目のインデックスで指定された要素のアドレスを計算する命令を生成します。

void mult3x3f ( float result [][ 3 ], const float A [][ 3 ], const float B [][ 3 ]) { int i , j , k ; for ( i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) { for ( j = 0 ; j < 3 ; ++ j ) { result [ i ][ j ] = 0 ; for ( k = 0 ; k < 3 ; ++ k ) result [ i ][ j ] += A [ i ][ k ] * B [ k ][ j ]; } } }