ホモクリニック接続

数学の一分野である力学系において、ホモクリニック接続は、固定点の安定多様体と不安定多様体によって形成される構造です。

を多様体 上に定義され、不動点 を持つ写像とする。とをそれぞれ 不動点 の安定多様体と不安定多様体とする。を連結不変多様体とし、 ${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle W^{s}(f,p)}$${\displaystyle W^{u}(f,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,p)}$

これをホモクリニック接続と呼びます。 ${\displaystyle V}$

これは同様の概念ですが、2 つの固定点、およびを参照します。 が満たす条件は 次のように置き換えられます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,q)}$

この概念は、およびに関して対称ではありません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

不変多様体とが、おそらく とともに、交差するがホモクリニック/ヘテロクリニック接続がない場合、2 つの多様体によって異なる構造が形成され、ホモクリニック/ヘテロクリニック タングルと呼ばれることもあります。図には、その複雑な構造を示す概念図があります。この図を裏付ける理論的結果は、ラムダ補題です。ホモクリニック タングルには、常にスメール馬蹄形が伴います。 ${\displaystyle W^{s}(f,p)}$${\displaystyle W^{u}(f,q)}$${\displaystyle p=q}$

連続フローの場合、定義は基本的に同じです。

1. さまざまな出版物によって定義に多少の違いがあります。
2. 歴史的に、最初に検討されたケースは、常微分方程式によって誘導される平面上の連続的な流れの場合でした。この場合、ホモクリニック接続は、時間の前方と後方の両方で固定点に収束する単一の軌道です。摩擦のない振り子は、ホモクリニック接続を持つ機械システムの例です。振り子が最上部（位置エネルギーが最も高い点）から微小な速度で放されると、振り子は同じ位置に戻ります。戻ると、振り子はまったく同じ速度になります。戻るのにかかる時間は、初期速度がゼロになるにつれて長くなります。振り子の記事のデモンストレーションの 1 つで、この動作が示されています。${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty}$

動的システムが乱されると、ホモクリニック接続が分裂します。これは不連続な不変集合になります。その近くには、スメールの馬蹄形と呼ばれるカオス集合があります。したがって、ホモクリニック接続の存在は潜在的にカオスにつながる可能性があります。たとえば、振り子を箱に入れ、箱が小さな水平振動を受けると、振り子はカオス的な動作を示す可能性があります。

• ホモクリニック軌道
• 異斜眼窩