ホルムグレンの一意性定理

偏微分方程式の理論において、ホルムグレンの一意性定理、または単にホルムグレンの定理は、スウェーデンの数学者エリック・アルバート・ホルムグレン（1873-1943）にちなんで名付けられ、実解析係数を持つ線型偏微分方程式の一意性の結果である。^[1]

多重インデックス表記法を使用します。 を非負整数として、と 表記します。${\displaystyle \alpha =\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}\in \mathbb {N} _{0}^{n},}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$

${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{\alpha _{n}}}$。

ホルムグレンの定理をより簡単に表現すると、次のようになります。

P  = ∑ _{| α | ≤ m} A _α (x)∂と仮定する^α
_xは実解析係数を持つ楕円 偏微分作用素で ある。Puが連結な開近傍Ω  ⊂  R ⁿにおいて実解析的であれば、uも実解析的である。

この記述は、「解析的」を「滑らか」に置き換えたもので、楕円正則性に関するヘルマン・ワイルの古典的な補題である。^[2]

P が楕円微分演算子であり、Pu がΩ内で滑らかである場合、uもΩ内で滑らかです。

この記述はソボレフ空間を使って証明できます。

を 内の連結な開近傍とし、を内の解析的超曲面とすると、内には2 つの開部分集合 および があり、これらは空でなく、連結で、互いに交差せず、 となる。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Omega_{+}}$${\displaystyle \Omega _{-}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Omega =\Omega _{-}\cup \Sigma \cup \Omega _{+}}$

実解析係数を持つ微分演算子とし ます。${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}A_{\alpha }(x)\partial _{x}^{\alpha }}$

超曲面が、そのすべての点において に関して非特性的であると仮定します。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathop {\rm {Char}} P\cap N^{*}\Sigma =\emptyset }$。

その上、

${\displaystyle \mathop {\rm {Char}} P=\{(x,\xi )\subset T^{*}\mathbb {R} ^{n}\backslash 0:\sigma _{p}(P)(x,\xi )=0\},{\text{ ただし }}\sigma _{p}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}i^{|\alpha |}A_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

の主記号はへの共線バンドルであり、 として定義され ます 。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle N^{*}\Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle N^{*}\Sigma =\{(x,\xi )\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}:x\in \Sigma ,\,\xi |_{T_{x}\Sigma }=0\}}$

ホルムグレンの定理の古典的な定式化は次のとおりです。

ホルムグレンの定理

を における超関数とし、 においてとなるものとする。 がにおいて 消失する場合、 は の開近傍において 消失する。${\displaystyle u}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle Pu=0}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega _{-}}$${\displaystyle \Sigma }$^[3]

問題を考えてみましょう

${\displaystyle \partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u),\quad \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},\quad k\in \mathbb {N} _{0},\quad |\alpha |+k\leq m,\quad k\leq m-1,}$

コーシーデータ

${\displaystyle \partial _{t}^{k}u|_{t=0}=\phi _{k}(x),\qquad 0\leq k\leq m-1,}$

が の近傍のすべての引数に関して実解析的であり 、がの近傍で実解析的であると仮定します。 ${\displaystyle F(t,x,z)}$${\displaystyle t=0,x=0,z=0}$${\displaystyle \phi _{k}(x)}$${\displaystyle x=0}$

定理（コーシー・コワレフスキー）

の近傍には唯一の実解析解が存在します${\displaystyle u(t,x)}$${\displaystyle (t,x)=(0,0)\in (\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n})}$。

コーシー・コワレフスキーの定理は、実解析的でない解の存在を排除するものではないことに注意する。^[要出典]

一方、が の1次多項式である場合、 ${\displaystyle F(t,x,z)}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},0\leq k\leq m-1,|\alpha |+k\leq m}A_{\alpha ,k}(t,x)\,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u,}$

ホルムグレンの定理は、解が実解析的であり、したがってコーシー・コワレフスキーの定理により一意であることを述べています。 ${\displaystyle u}$

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