ヒルベルトの既約定理

数論において、 1892年にデイヴィッド・ヒルベルトによって考案されたヒルベルトの既約定理は、有限個の変数を持ち有理数係数を持つ既約多項式の有限集合はすべて、変数の適切な部分集合を有理数に共通に特殊化できるため、すべての多項式が既約のままであるという定理です。この定理は数論における著名な定理です。

ヒルベルトの既約定理。

${\displaystyle f_{1}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

環上の既約多項式である

${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},\ldots,X_{r})[Y_{1},\ldots,Y_{s}].}$

すると、有理数のr組（ a ₁、...、a _r） が存在し、

${\displaystyle f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

環上では既約ではない

${\displaystyle \mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

備考。

• 定理から、r組は無限に存在することがわかる。実際、ヒルベルト集合と呼ばれるすべての既約特殊化の集合は、多くの意味で大きい。例えば、この集合は、${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}.}$
• 整数の特殊化は常に（無限に）存在します。つまり、（ a ₁、...、a _r）が整数である必要がある場合でも、定理の主張は成り立ちます。
• ヒルベルト体、すなわちヒルベルトの既約定理を満たす体は数多く存在する。例えば、数体はヒルベルト体である。^[1]
• 定理で述べられている既約特殊化特性は、最も一般的です。多くの簡約がありますが、例えば、定義を とするだけで十分です。Bary-Soroker の結果は、体Kがヒルベルト体であるためには、 および絶対既約 の場合、つまり、環K ^alg [ X , Y ] において既約 の場合を考えれば十分であることを示しています。ここで、K ^algはKの代数閉包です。${\displaystyle n=r=s=1}$${\displaystyle n=r=s=1}$${\displaystyle f=f_{1}}$

ヒルベルトの既約定理は、数論や代数学において数多くの応用があります。例えば、

• 逆ガロア問題、ヒルベルトの元々の動機。定理は、有限群Gがガロア拡大Nのガロア群として実現できる場合、

${\displaystyle E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),}$

すると、それはG をそのガロア群とする有理数のガロア拡大N ₀に特殊化できる。^[2] （これを確かめるために、根がE上にNを生成する単項既約多項式f ( X ₁ , ..., X _n , Y ) を選ぶ。f ( a ₁ , ..., a _n , Y ) が何らかのa _iに対して既約であれば、その根は主張されているN _{0 を}生成する。）

• 大きなランクを持つ楕円曲線の構築。^[2]

• ヒルベルトの既約定理は、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明のステップとして使用されます。

• 多項式がxのすべての大きな整数値に対して完全な平方である場合、g(x) は多項式の平方です。これは、ヒルベルトの既約定理から導かれ、${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$${\displaystyle n=r=s=1}$

${\displaystyle f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).}$

(より基本的な証明も存在します。)「平方」を「立方」、「4 乗」などに置き換えた場合も同じ結果になります。

これは代数幾何学の言語を使用することで、広範囲に再定式化され一般化されている。薄い集合 (セール)を参照。

• D. ヒルベルト、「Uber die Irreducibilitat ganzerrationer Functionen mit ganzzahligen Coefficienten」、J. reine angew。数学。 110 (1892) 104–129。

• ラング、セルジュ（1997）。『ディオファントス幾何学概論』Springer- Verlag。ISBN 3-540-61223-8.ZBL0869.11051  。​
• JP Serre、「モルデル・ヴェイユの定理に関する講義」、Vieweg、1989 年。
• MD Fried および M. Jarden、「Field Arithmetic」、Springer-Verlag、ベルリン、2005 年。
• H. Völklein, Groups as Galois Groups、ケンブリッジ大学出版局、1996年。
• G. Malle および BH Matzat、『逆ガロア理論』、Springer、1999 年。