ヒルベルトの第13の問題

ヒルベルトの第13の問題は、1900年にダヴィド・ヒルベルトがまとめた有名なリストに記載されている23のヒルベルトの問題の1つです。この問題は、 2つの引数を持つ代数的（変形：連続）関数を使用して、すべての7次方程式に解が存在するかどうかを証明することです。この問題は、ノモグラフィー、特に「ノモグラフィック構築」、つまり2つの変数の関数を使用して複数の変数の関数を構築するプロセスの文脈で初めて提示されました。連続関数の変形は、1957年にウラジミール・アーノルドがコルモゴロフ-アーノルドの表現定理を証明したときに肯定的に解決されましたが、代数関数の変形は未解決のままです。

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス(1683)、エルランド・サミュエル・ブリング(1786)、ジョージ・ジェラード(1834)が開拓した方法を用いて、 1836 年にすべての7 次方程式は根号によって の形に簡約できることを示しました。 ${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、cの関数として考えたとき、有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました。

ヒルベルトはもともと代数関数の問題を提起しました(Hilbert 1927、「...代数関数の存在...」、つまり「...代数関数の存在...」。Abhyankar 1997、Vitushkin 2004 も参照)。しかし、ヒルベルトはこの問題の後のバージョンで、連続関数のクラスに解があるかどうかも問いました。

問題の 2 番目の (「連続」) 変種を一般化すると、次の質問になります。3 変数のすべての連続関数は、 2 変数の有限個の連続関数の合成として表現できますか? この一般的な質問に対する肯定的な回答は、1957 年に、当時 19 歳でアンドレイ・コルモゴロフの学生であったウラジミール・アーノルドによって与えられました。コルモゴロフは前年に、多変数の任意の関数は有限個の 3 変数関数で構成できることを示していました。アーノルドはその後、この研究を拡張して、実際には 2 変数関数のみが必要であることを示しました。これにより、連続関数のクラスに対して提起されたヒルベルトの質問に回答しました。

アーノルドは後に志村五郎と共同でこの問題の代数バージョンに戻りました(Arnold and Shimura 1976)。

• Shreeram Shankar Abhyankar、「Hilbert の 13 番目の問題」、代数非可換、グループ量子および不変量(Reims、1995)、1–11、Sémin。会議、２、Ｓｏｃ．数学。フランス、パリ、1​​997 年。MR 1601178
• VI ArnoldとGoro Shimura、「代数関数の重ね合わせ」（1976 年）、ヒルベルト問題から生じる数学的展開、第 1 巻、純粋数学シンポジウムの議事録28 (1976 年)、pp. 45-46。
• デイヴィッド・ヒルベルト(1927)。 「ユーバー・ダイ・グライチュン・ニューンテン・グレード」。数学アンナレン。97 (1): 243–250。土井：10.1007/BF01447867。JFM  52.0103.02。MR1512361  。
• ローレンツ、ジョージ G. (1966)。関数の近似。ニューヨーク、シカゴ、トロント:ホルト、ライナーハート、ウィンストン。第 11 章。MR  0213785。
• ヴィトゥシキン、アナトリ・ゲオルギエヴィチ（2004）。 「13-я проблема Гильберта и смежные вопросы」(PDF)。ウスペキ・マテマチェスキク・ナウク。59 (1): 11 24.土井:10.4213/rm698。英語訳：「ヒルベルトの第13問題と関連する問題について」。ロシア数学概論。59 （1）：11–25。2004年。doi ： 10.1070/RM2004v059n01ABEH000698。MR  2068840。
• ファーブ、ベンソン; ウルフソン、ジェシー (2020). 「解決次数、ヒルベルトの第13問題、幾何学」.数学教育. 65 (3): 303–376. arXiv : 1803.04063 . doi :10.4171/LEM/65-3/4-2. ISSN  0013-8584. MR  4113045. S2CID  14000951.

• 敗血症方程式

• オーンズ、スティーブン（2021年1月14日）。「数学者がヒルベルトの第13問題を復活させる」。Quanta Magazine。