ヘッセ方程式

数学において、k-ヘッセ方程式（または略してヘッセ方程式）は、ヘッセ行列に基づく偏微分方程式（PDE）です。より具体的には、ヘッセ方程式はkトレース、つまりヘッセ行列の固有値のk番目の基本対称多項式です。k ≥ 2 の場合、k-ヘッセ方程式は完全に非線形な偏微分方程式です。^[1]これは と表記できます。ここで、、、および はヘッセ行列の固有値であり、 は 番目の基本対称多項式です。^{[2] [3]}${\displaystyle {\cal {S}}_{k}[u]=f}$${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n}$${\displaystyle {\cal {S}}_{k}[u]=\sigma _{k}(\lambda ({\cal {D}}^{2}u))}$${\displaystyle \lambda ({\cal {D}}^{2}u)=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle {\cal {D}}^{2}u=[\partial _{i}\partial _{j}u]_{1\leq i,j\leq n}}$${\displaystyle \sigma _{k}(\lambda )=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\lambda _{i_{1}}\cdots \lambda _{i_{k}}}$${\displaystyle k}$

微分方程式がしばしば微分作用素（例えば、楕円作用素と楕円方程式）の作用素を研究するのと同様に、ヘッセ方程式はヘッセ微分作用素が作用する単なる固有値方程式として理解することができます。特殊なケースとしては、モンジュ・アンペール方程式^[4]とポアソン方程式（ラプラシアンはヘッセ行列のトレース）があります。2−ヘッセ作用素は等角写像問題にも現れます。実際、2−ヘッセ方程式は、 3次元多様体に固有の曲率を与えるスカラー曲率作用素と密接に関連しているリーマン幾何学と楕円正則性理論以外では馴染みがありません。

これらの方程式は、幾何偏微分方程式（幾何解析と偏微分方程式のインターフェースにあるサブフィールド）と微分幾何学において興味深いものです。

• Caffarelli, L.; Nirenberg, L.; Spruck, J. (1985)、「非線形 2 次楕円方程式のディリクレ問題、III: ヘッセ行列の固有値の関数」(PDF)、Acta Mathematica、155 (1): 261–301、doi : 10.1007/BF02392544。