ヘイゼン・ウィリアムズ方程式

ヘイゼン・ウィリアムズ方程式は、パイプ内の水の流れとパイプの物理的特性、摩擦による圧力降下を関連付ける経験的な関係です。この方程式は、スプリンクラーシステム^[1]、^[2]、給水ネットワーク、灌漑システムなどの水道管システムの設計に使用されます。この方程式は、アレン・ヘイゼンとガードナー・スチュワート・ウィリアムズにちなんで名付けられました。

ヘイゼン・ウィリアムズ方程式は、係数Cがレイノルズ数の関数ではないという利点があるが、水にしか適用できないという欠点がある。また、水の温度や粘度を考慮していないため^[3]、室温と通常の速度でのみ有効である。^[4]

アンリ・ピトーは18世紀初頭に、流体の速度が水頭の平方根に比例することを発見しました。パイプを通して流体を押し出すにはエネルギーが必要で、アントワーヌ・ド・シェジーは水頭損失が速度の2乗に比例することを発見しました。 ^[5] その結果、シェジーの式は水力勾配S（単位長さあたりの水頭損失）と流体速度Vおよび水力半径 Rを関連付けています。

${\displaystyle V=C{\sqrt {RS}}=C\,R^{0.5}\,S^{0.5}}$

変数Cは比例関係を表すが、 Cの値は定数ではない。1838年と1839年に、ゴットヒルフ・ハーゲンとジャン・レオナール・マリー・ポアズイユは独立に層流の損失水頭方程式、ハーゲン・ポアズイユ方程式を決定した。1845年頃、ジュリアス・ワイスバッハとヘンリー・ダーシーはダルシー・ワイスバッハ方程式を開発した。^[6]

ダルシー・ワイスバッハの式は摩擦係数の推定が困難であったため、使用が困難であった。^[7] 1906年、ヘイゼンとウィリアムズは使いやすい実験式を提示した。この式の一般形は、パイプ内の水の平均速度とパイプの幾何学的特性およびエネルギー線の傾きを関連付けるものである。

${\displaystyle V=k\,C\,R^{0.63}\,S^{0.54}}$

どこ：

• Vは速度です（米国慣用単位では ft/s、SI 単位では m/s）。
• k は単位系の変換係数です（米国慣用単位の場合は k = 1.318、SI 単位の場合は k = 0.849）。
• Cは粗さ係数である
• Rは水力半径です（米国慣用単位の場合はフィート、SI 単位の場合はメートル）
• Sはエネルギーラインの傾き（パイプの長さあたりの損失水頭またはh _f /L）

この式はシェジーの式に似ていますが、指数は一般的な工学的状況のデータにより適合するように調整されています。指数を調整した結果、Cの値は他のパラメータの広い範囲にわたってより定数のように見えます。^[8]

変換係数kは、 Cの値が、典型的な水力勾配S =0.001に対するシェジーの式と同じになるように選択された。^[9] k の値は0.001 ^−0.04である。^[10]

パイプの経年劣化による粗さの増加を考慮した設計で使用される典型的なC係数は次のとおりです。 ^[11]

一般的な形式は、パイプ全体の流れに特化することができます。一般的な形式をとると

${\displaystyle V=k\,C\,R^{0.63}\,S^{0.54}}$

そして、各辺を1/0.54で累乗すると、次のようになります（指数は小数点以下3～4桁に丸めます）。

${\displaystyle V^{1.852}=k^{1.852}\,C^{1.852}\,R^{1.167}\,S}$

並べ替えると

${\displaystyle S={V^{1.852} \over k^{1.852}\,C^{1.852}\,R^{1.167}}}$

流量Q = V Aなので、

${\displaystyle S={V^{1.852}A^{1.852} \over k^{1.852}\,C^{1.852}\,R^{1.167}\,A^{1.852}}={Q^{1.852} \over k^{1.852}\,C^{1.852}\,R^{1.167}\,A^{1.852}}}$

幾何学的直径dの全管の水力半径 R （幾何学的半径rとは異なる）はd /4であり、管の断面積Aはπ d ² / 4であるため、

${\displaystyle S={4^{1.167}\,4^{1.852}\,Q^{1.852} \over \pi ^{1.852}\,k^{1.852}\,C^{1.852}\,d^{1.167}\,d^{3.7034}}={4^{3.019}\,Q^{1.852} \over \pi ^{1.852}\,k^{1.852}\,C^{1.852}\,d^{4.8704}}={4^{3.019} \over \pi ^{1.852}\,k^{1.852}}{Q^{1.852} \over C^{1.852}\,d^{4.8704}}={7.8828 \over k^{1.852}}{Q^{1.852} \over C^{1.852}\,d^{4.8704}}}$

米国慣用単位系を使用して圧力降下を計算する場合、式は次のようになる：^[12]

${\displaystyle S_{\mathrm {psi\ per\ フィート} }={\frac {P_{d}}{L}}={\frac {4.52\ Q^{1.852}}{C^{1.852}\ d ^{4.8704}}}}$

どこ：

• S _{psi/フィート}= 摩擦抵抗（パイプ1フィートあたりの圧力降下）psig/ft（平方インチあたりのゲージ圧力あたりの重量）
• _{パイプ1フィートあたり}5フィートの水
• P _d = パイプの長さ全体にわたる圧力降下（psig、ポンド/平方インチゲージ圧力）
• L = パイプの長さ（フィート）
• Q = 流量、gpm (毎分ガロン)
• C = パイプ粗さ係数
• d = パイプ内径、in (インチ)

注:米国慣用単位には注意が必要です。パイプのヘッド損失 (勾配 S とも呼ばれる) の式は、前述のように「長さ 1 フィートあたりのフィート」と「長さ 1 フィートあたりの psi」で表され、パイプの内径 d はフィートで入力されるのに対しインチで入力され、流量 Q は立方フィート/秒 (cfs) とガロン/分 (gpm) で入力され、非常によく似ています。ただし、スプリンクラー システム設計用に NFPA が整理した式では、定数は 4.73 であるのに対し、上記の定数は 4.52 です。指数と Hazen-Williams の「C」値は変更されていません。

国際単位系で損失水頭を計算する場合、式は次のようになります。

^[13]

${\displaystyle S={\frac {h_{f}}{L}}={\frac {10.67\ Q^{1.852}}{C^{1.852}\ d^{4.8704}}}}$

どこ：

• S = 水力勾配
• h _f =パイプの長さ全体にわたるメートル単位の損失水頭（水）
• L = パイプの長さ（メートル）
• Q = 体積流量、m ³ /s（立方メートル/秒）
• C = パイプ粗さ係数
• d = パイプ内径、m（メートル）

注: 圧力損失は、水頭損失h _f × 水の単位重量 (例: 4 ℃で9810 N/m ³ )から計算できます。

• 代替案に対するダルシー・ワイスバッハ方程式とプロニー方程式
• 流体力学
• 摩擦
• パイプ流量のわずかな損失
• 配管工事
• プレッシャー
• 体積流量

• フィンモア、E. ジョン、フランツィーニ、ジョセフ B. (2002)、流体力学(第 10 版)、マグロウヒル
• メイズ、ラ​​リー W. (1999)、油圧設計ハンドブック、マグロウヒル
• ワトキンス、ジェームズ A. (1987)、芝生灌漑マニュアル(第 5 版)、Telsco
• ウィリアムズ、ガードナー・スチュワート、ヘイゼン、アレン（1905年）、水力表：パイプ、導水管、下水道などを流れる水の摩擦による水頭損失と堰からの排水を示す（初版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ
• ウィリアムズとヘイゼン、第2版、1909年
• ウィリアムズ、ガードナー・スチュワート、ヘイゼン、アレン（1914年）、水力表：ヘイゼンとウィリアムズの公式によって決定される、パイプ、導水管、下水道などを流れる水の測定要素と摩擦、鋭角で不規則な堰を越える水の流れ、バザンの公式によって決定される排出量、および大型モデルでの実験的調査。（第2版および拡大改訂版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ
• ウィリアムズ、ガードナー・スチュワート、ヘイゼン、アレン（1920年）、水力表：ヘイゼンとウィリアムズの公式によって決定される、パイプ、導水管、下水道などを流れる水の測定要素と摩擦、鋭角で不規則な堰を越える水の流れ、バザンの公式によって決定される排出量、および大型モデルでの実験的調査。（第3版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、OCLC  1981183

• エンジニアリングツールボックスリファレンス
• エンジニアリングツールボックス ヘイゼン・ウィリアムズ係数
• 重力給水パイプ用のオンライン Hazen-Williams 計算機。
• 加圧パイプ用のオンライン Hazen-Williams 計算機。
• https://books.google.com/books?id=DxoMAQAAAIAAJ&pg=PA736
• https://books.google.com/books?id=RAMX5xuXSrUC&pg=PA145 ポケット電卓とコンピューターを使用すると計算が簡単になります。HW は滑らかなパイプに適していますが、Manning は粗いパイプに適しています (DW モデルと比較して)。