ハミルトンの光学的機械論的類推

ハミルトンの光機械アナロジーは、古典力学の軌道と光学の波面との概念的な類似点であり、1831年頃にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。 ^[1]これは、ホイヘンスの光学原理とモーペルテュイの力学原理を結び付けるものとして見ることができる。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

ハミルトンは1831年にこのアナロジーを発見しましたが、ハンス・ブッシュが1925年に電子ビームの集束を説明するために使用するまで、実際には適用されていませんでした。 ^[7]コルネリウス・ランチョスによると、このアナロジーは量子物理学のアイデアの発展において重要でした。^[3] エルヴィン・シュレーディンガーは、波動力学を紹介する論文の最初の文でこのアナロジーを引用しています。^[8]彼は論文の本文の後半で次のように述べています。

残念なことに、ハミルトンのこの力強く重要な構想は、ほとんどの現代の複製では、分析的な対応のより無彩色の表現のために、余分な付属品としてその美しい衣装が奪われています。^[9]

この類推に基づく定量的かつ形式的な解析ではハミルトン・ヤコビ方程式が用いられる。逆に、この類推はハミルトン・ヤコビ方程式のアプローチを力学に導入するための、よりアクセスしやすい代替的な道筋を提供する。変分原理から生じる、幾何光学に特徴的な機械的軌跡と全波動方程式に特徴的な光波面の直交性は、対応する微分方程式につながる。^[10]

光の伝播は、通常の物理的な三次元空間における光線と波面の観点から考えることができます。波面は二次元曲面であり、光線は一次元曲線です。^[11] ハミルトンの類推は、ここに示すような図の2つの解釈に相当します。光学的解釈では、緑の波面は一定位相の線であり、直交する赤の線は幾何光学の光線です。機械的解釈では、緑の線はハミルトンの原理を機械的運動に適用することによって導かれた作用の定数値を示し、赤の線は直交する物体の軌跡です。^[11]

波面と光線（または等作用面と軌道）の直交性は、一方のセットをもう一方のセットから計算できることを意味します。^{[10]これは、}キルヒホッフの回折式が幾何学的な光線追跡のみを使用して波動現象（回折）を予測する方法を説明しています。^{[7] ：745}光源から開口部まで追跡された光線は、回折パターンに到達する光線の光源となる波面を与え、そこで直交波面からの複雑な位相を使用して光線が合計されます。

波面と光線、あるいは等作用面と軌道は、直交性によって結びついた二重の対象である。^[10] 一方で、光線は光の粒子の軌道とみなすことができる。光線は波面を次々に突き抜ける。連続した突き抜けは粒子の軌道を定義するとみなすことができる。他方、波面は、電界強度、静水圧、粒子数密度、振動位相、確率振幅などの何らかの量の変位の水平面とみなすことができる。この場合、光線の物理的意味はそれほど明白ではない。^[12]

ハミルトンの光機械類推はフェルマーの原理、ひいてはホイヘンス・フレネルの原理と密接に関連している。^[10]フェルマーの原理は、波面間の光線は最短時間の経路を取ることを規定しており、連続する波面の概念はホイヘンスの原理に由来する。

通常の 3 次元の物理空間を超えて、次元が 3 の倍数である高次元の抽象構成「空間」を想像することができます。この空間では、光線を 1 次元の曲線として再び想像することができます。この場合、波面は空間の次元より 1 小さい次元の超曲面です。^[6]このような多次元空間は、多粒子システムの構成空間として機能します。

アルバート・メシアはシュレーディンガー方程式の古典的限界について考察している。彼はそこに光学的類似性を見出した。彼の粒子の軌道は、等位相の面に対して直交している。彼は「光学用語では、後者は波面であり、粒子の軌道は光線である。したがって、古典的近似は幾何光学的近似と同等である。我々は、シュレーディンガー方程式の結果として、物質波理論の基本的仮定を再び発見する」と書いている。^[13]

ハミルトンの光機械類推は、量子力学の創始者の一人であるシュレーディンガーの思考において重要な役割を果たした^{[14] [11] 。1926年12月に発表された彼の論文の第1節は「力学と光学の間のハミルトン類推」と題されている。 [15]} 1928年に行われた波動力学に関する4回の講義のうち最初の第1節は「ハミルトンの通常の力学と幾何光学の間の類推から波動力学の基本概念を導出する」と題されている。^[16]

1923年の短い論文で、ド・ブロイは次のように書いている。「波動が純粋に幾何光学に取って代わったとき、光学が経験したのと同じ進化を、動力学も経験しなければならない。」^[17] 1924年の論文では、ルイ・ド・ブロイは光学機械の類似性に名前を付けなかったが、序文で次のように書いている。^[18]

... モーペルテュイの原理、後にハミルトンの最小作用の原理として別の形で登場した... フェルマーの... 原理...、今日では通常最小作用の原理と呼ばれています。... ホイヘンスは光の波動理論を提唱し、ニュートンは彼が考案した物質点の力学との類似性を利用して、粒子理論、いわゆる「放出理論」を開発しました。これにより、人為的な仮説ではありますが、今日では波動効果と考えられている効果 (つまり、ニュートンリング) を説明することさえできました。

ニールス・ボーアの親しい同僚であるレオン・ローゼンフェルドの意見によれば、「シュレーディンガーはハミルトンの古典力学と幾何光学の美しい比較に触発された」^[19]。

英語で書かれた最初の波動力学の教科書^[20]は、2章のうち2番目の章を「波動力学と通常の力学との関係」に当てている。その見解は「... ド・ブロイとシュレーディンガーは、自然の作用単位または尺度h を使用することで、この誤った類推を真の類推に変えた... ... ここでハミルトンの理論をもっと詳しく検討する必要がある。なぜなら、その真の意味を一度理解すれば、波動力学へのステップは短く、実際、出来事が起こった今となっては、ほとんど自明であるように思えるからだ」である。^[21]

ある教科書によれば、「我々の問題の最初の部分、すなわち時空対称条件を満たす一次方程式の体系の確立は、波動力学の発展の出発点であり、現在でも留保付きではあるがインスピレーションの源として使用できる力学と光学の類推の助けを借りて、非常に簡単な方法で解決できる。」^[22]

最近、この概念は波長依存領域にまで拡張されました。^[23]