ホールの予想

数学において、ホールの予想は、完全な正方形と完全な立方体の違いに関する未解決の問題です。これは、等しくない完全な正方形y ²と完全な立方体x ^{3は、かなりの距離が離れているはずだと主張しています。この問題は、}楕円曲線上の整数点の理論におけるモーデル方程式の考察から生じました。

1970年にマーシャル・ホール・ジュニアによって定式化されたホール予想の原型は、y ² ≠ x ³となる任意の整数xとyに対して、正の定数Cが存在するというものである。

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.}$

ホールは、おそらくC を1/5 とすることができると示唆しましたが、これは、この予想が提案された時点で知られているすべてのデータと一致していました。ダニロフは 1982 年に、右辺の指数 1/2 (つまり、| x | ^{1/2の使用) は、それよりも高いべき乗に置き換えることができないことを示しました。δ > 0 がないため、} y ² ≠ x ³のときに| y ² − x ³ | > C| x | ^{1/2 + δ}となる定数C は存在しません。

1965年、ダベンポートは多項式の場合における上記の予想の類似性を証明した。すなわち、f ( t )とg ( t )が複素数 C上の非零多項式であり、 C [ t ]においてg ( t ) ³ ≠ f ( t ) ²であるとき 、

${\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}$

1980年頃にスタークとトロッターによって提唱されたホール予想の弱形式は、不等式の右側の平方根を1/2未満の指数に置き換えるものである。すなわち、任意のε > 0に対して、εに依存する定数c (ε)が存在し、 y ² ≠ x ³となる任意の整数xとyに対して、

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.}$

指数が1/2である予想の元々の強い形式は、これまで反証されたことはないが、もはや真実であるとは考えられておらず、ホール予想という用語は現在一般的にεを含むバージョンを意味する。例えば、1998年にノアム・エルキーズが以下の例を発見した 。

447884928428402042307918 ² − 5853886516781223 ³ = -1641843、

ホールの予想と両立するには、C が.0214 ≈ 1/50 未満である必要があり、これはホールが提案した当初の選択値 1/5 の約 10 分の 1 に相当します。

ホール予想の弱い形式はABC予想から導かれる。^[1] 他の完全冪への一般化はピライ予想であるが、ホール予想が任意の特定の0 < ε < 1/2に対して成り立つ場合、ピライ予想も真となることが知られている。^[2]

以下の表は、 の既知のケースを示しています。y はx ^3/2に最も近い整数として計算できることに注意してください。 このリストには、 のすべての例（表の最初の 44 エントリ）が含まれていることがわかっていますが、それ以降は不完全な可能性があります。 ${\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}$${\displaystyle x\leq 10^{29}}$

• ノアム・エルキーズによる問題に関するページ