ハドヴィガーの定理

積分幾何学（幾何学的確率論とも呼ばれる）において、ハドヴィガーの定理は、凸体上の値を特徴づけるものであり、ヒューゴ・ハドヴィガーによって証明されました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

を 内のすべてのコンパクト凸集合の集合とする。評価は、およびを満たす任意のに対して となる関数である。${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v(\varnothing )=0}$${\displaystyle S,T\in \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},}$ $${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.}$$

付値はハウスドルフ計量に関して連続的である場合に連続的と呼ばれる。付値は、および が の平行移動または回転である場合に剛体運動に対して不変であると呼ばれる。${\displaystyle v(\varphi (S))=v(S)}$${\displaystyle S\in \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

クェルマス積分は、シュタイナーの公式によって定義されます 。 ここで、はユークリッド球です。たとえば、は体積、は表面積に比例し、は平均幅に比例し、は定数です。${\displaystyle W_{j}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{ j}~,}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{n-1}}$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(B).}$

${\displaystyle W_{j}}$は、次数が同質である評価であり、 ${\displaystyle nj,}$$${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{nj}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$$

剛体運動に対して不変である任意の連続値は次のように表される。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$$${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.}$$

剛体運動に対して不変で次数が同次である任意の連続値は${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle W_{nj}.}$

• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• 集合関数 – 集合から数値への関数

ハドヴィガーの定理の説明と証明は、

• Klain, DA; Rota, G.-C. (1997).幾何確率入門. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-59362-X. MR  1608265。

初歩的かつ自己完結的な証明は、Beifang Chenによって

• Chen, B. (2004). 「Hadwiger の体積定理の簡略化された基本的証明」. Geom. Dedicata . 105 : 107–120. doi :10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR  2057247.