集団への嫉妬のなさ

集団羨望のなさ^[1]（または連合公平性）^[2]は、公平な分割の基準です。集団羨望のなさは、複数のパートナー間での資源の分割であり、各パートナーグループは、割り当てられたシェアが、同じ規模の他のグループのシェアと少なくとも同等であると感じるような分割です。この用語は、公平な資源配分、公平なケーキカット、公平なアイテム配分などの問題で特に使用されます。

グループ嫉妬がないことは、非常に強い公平性の要件です。グループ嫉妬のない割り当ては嫉妬がなく、パレート効率的ですが、その逆は当てはまりません。

n 個のエージェントの集合を考えます。各エージェントi は特定の割り当てX _i (例: ケーキやリソースの束) を受け取ります。各エージェントi は、ピース/バンドルに対して特定の主観的選好関係 < _{i を}持ちます(つまり、エージェントi はピースYよりもピースXを好むことを意味します)。 ${\displaystyle X<_{i}Y}$

現在の割り当て を持つエージェントのグループGについて考えます。グループGが現在の割り当てよりもピースY を好むとは、 Gのメンバーに対するピースYの分割:が存在し、少なくとも 1 人のエージェントi が以前の割り当て ( ) よりも新しい割り当てを好み、どのエージェントも新しい割り当てよりも以前の割り当てを好まないことを意味します。 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in G}}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}_{i\in G}}$${\displaystyle X_{i}$

同じ数のエージェントを持つ2つのエージェント グループGとHを考えます。グループGが現在の割り当てよりもグループHの共通割り当て(つまり) を好む場合、グループGはグループH を羨んでいると言います。 ${\displaystyle \cup _{i\in H}{X_{i}}}$

割り当て { X ₁ , ..., X _n } は、同じ数のエージェントを持つ別のグループを羨むエージェントのグループがない場合、 グループ羨望フリーと呼ばれます。

GとH は単一のエージェントを持つグループである可能性がある ため、グループ羨望のない割り当ても羨望がありません。

GとH はnエージェント すべてのグループ全体である可能性があるため、グループ羨望のない割り当てもパレート効率的です。

グループ嫉妬のなさは、2、3、...、n -1 のエージェント のグループにも適用されるため、これら 2 つの基準の組み合わせよりも強力です。

資源配分の設定では、集団羨望のない配分が存在する。さらに、それは初期賦存量が等しい競争均衡として達成することができる。^{[3] [4] [2]}

公平なケーキカットの設定では、選好関係が正の連続的な価値尺度によって表される場合、グループ嫉妬のない割り当てが存在する。つまり、各エージェントiは各ケーキの価値を表す特定の関数V _{i を}持ち、そのような関数はすべて加法的かつ非原子的である。^[1]

さらに、選好関係が有限ベクトル測度上の選好によって表される場合、集団羨望のない割り当てが存在する。すなわち、各エージェントiは、各ケーキの異なる特性の値を表す特定のベクトル関数 V _iを持ち、そのような各ベクトル関数のすべての成分は加法的かつ非原子的であり、さらにベクトル上の選好関係は連続的、単調かつ凸状である。^[5]

アレクサンドロフとウォルシュ^[6]は「グループの嫉妬のなさ」という用語をより弱い意味で使用している。彼らは、各グループGが、そのメンバーの効用の算術平均として、その総合的な配分を評価すると仮定している。つまり、

${\displaystyle u_{G}(X_{G}):={\frac {1}{|G|}}\sum _{i\in G}u_{i}(X_{i})}$

そして、他のすべてのグループH の総合的な配分を評価値の算術平均として評価します。つまり、

${\displaystyle u_{G}(X_{H}):={\frac {1}{|G|\cdot |H|}}\sum _{i\in G}\sum _{j\in H}u_{i}(X_{j})}$

定義によれば、サイズgのすべてのグループGとサイズhのすべてのグループHについて、割り当てがg,h グループ羨望フリー(GEF _g,h ) であるのは、次の場合です。

${\displaystyle u_{G}(X_{G})\geq u_{G}(X_{H})}$

GEF _1,1は嫉妬のなさ と同じであり、GEF _{1,n は}比例性 と同じであり、GEF _{n,n は}どの割り当てでも自明に満たされます。各gおよびhについて、 GEF _{g,h は}GEF _g,h+1および GEF _g+1,hを意味します。この意味合いは 3 人以上のエージェントに対して厳密です。2 人のエージェントの場合、すべてのg 、 hに対するGEF _g, hは嫉妬のなさと同じです。この定義では、グループ嫉妬のなさはパレート効率を意味しません。彼らは、割り当てX がk グループ パレート効率的 (GPE _k )であると定義するのは、サイズkのすべてのグループに対して少なくとも同等に優れ、サイズkの少なくとも 1 つのグループ、つまりサイズkのすべてのグループGに対して厳密に優れている割り当てYが存在しないときです。

${\displaystyle u_{G}(Y_{G})\geq u_{G}(X_{G})}$

そして、サイズkのグループGが少なくとも1つある場合:

${\displaystyle u_{G}(Y_{G})>u_{G}(X_{G})}$。

GPE ₁はパレート効率に相当します。GPE _nは功利主義最大配分 に相当します。これは、サイズnのグランドグループGの場合、効用u _Gはすべてのエージェントの効用の合計に等しいためです。すべてのkについて、GPE _k+1は GPE _{k を}意味します。逆の意味は、エージェントが 2 人の場合でも当てはまりません。また、これらの公平性と効率性の特性のおおよその概念と、公平性の価格も考慮します。

• グループ間の公平な分割- 公平な分割の一種で、リソースの一部が個人ではなく、事前に決められたグループに与えられます。