複素射影空間におけるグロモフの不等式

リーマン幾何学において、グロモフの最適安定2シストリック不等式は不等式である。

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$、

複素射影空間上の任意のリーマン計量に対して有効であり、対称フビニ・スタディ計量によって最適境界が達成され、量子力学の自然な幾何学化が提供されます。ここに安定した 2-シストールがあり、この場合、これは2 次元ホモロジーにおける 複素射影直線の類を表す有理 2-サイクルの領域の最小値として定義できます。${\displaystyle \operatorname {stsys_{2}} }$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}}$

この不等式は、Gromov (1981) の定理 4.36 として初めて登場しました。

グロモフの不等式の証明は、外2形式に対するヴィルティンガーの不等式に依存します。

n=2 の特殊なケースでは、グロモフの不等式は になります。この不等式は、実射影平面 に対する Pu の不等式の類似物として考えることができます。どちらの場合も、等式の境界ケースは射影平面の対称計量によって達成されます。一方、四元数の場合、 上の対称計量はそのシストリック最適計量ではありません。言い換えると、多様体は、その対称計量の場合よりも高いシストリック比を持つリーマン計量を許容します(Bangert ら 2009)。 ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2\mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {stsys} _{4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}}$

• ローナーのトーラス不等式
• Puの不等式
• グロモフの不等式（曖昧さ回避）
• 本質的多様体に対するグロモフのシストリック不等式
• 収縮期幾何学

• Bangert, Victor; Katz, Mikhail G.; Shnider, Steve; Weinberger, Shmuel (2009). 「E ₇、 Wirtinger 不等式、 Cayley 4 形式、およびホモトピー」. Duke Mathematical Journal . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG/0608006 . doi :10.1215/00127094-2008-061. MR  2475399. S2CID  2575584.
• グロモフ、ミハイル (1981)。 J.ラフォンテーヌ。 P.パンス。 （編）。Structures metriques pour les variétés riemanniennes [リーマン多様体の計量構造]。 Mathématiques のテキスト (フランス語)。 Vol. 1. パリ: CEDIC。ISBN 2-7124-0714-8MR  0682063 。
• Katz, Mikhail G. (2007)。シストリック幾何学と位相幾何学。数学概論とモノグラフ。第 137 巻。Jake P. Solomon による付録付き。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。p. 19。doi :10.1090/surv/ 137。ISBN 978-0-8218-4177-8MR  2292367 。