モデル このモデルは、以下の仮定に基づいて構築されています。
労働生産性が着実に向上している（例えば、技術革新による）。 労働力人口は着実に増加している（例えば出生数による）。 生産要素は 労働と資本の2つしかない。労働者は賃金をすべて消費し、資本家は利益をすべて投資する。 資本生産比率が一定である（つまり、一定量の生産物は常に同量の資本に変換できる）。 実質賃金は、線形化されたフィリップス曲線 に従って変化する。つまり、完全雇用に近いほど賃金は上昇する。このモデルは変数を使用します
q は出力です k は（同質）資本である w は賃金率です a は労働生産性である n は労働力である これらはすべて時間の関数です（ただし、便宜上、時間の添え字は省略されています）。定数
α は労働生産性の成長率である。 β は労働力増加率である。 γ は実質賃金変化曲線を定義するために使用される ρ は実質賃金変化曲線を定義するためにも使用される。 σ は資本産出比率である。 モデルを定義する上で、いくつかの派生量が役立ちます。雇用されている労働量は次のように表されます。
l = q 1 {\displaystyle l={\frac {q}{a}}} 雇用率は次のように表される。
v = l n {\displaystyle v={\frac {l}{n}}} 労働者の生産量における取り分 は次のように表される。
u = w l q = w 1 {\displaystyle u={\frac {wl}{q}}={\frac {w}{a}}} そして生産量における資本家の取り分（s {\displaystyle s}
s = 1 − u {\displaystyle s=1-u} このモデルは一連の微分方程式によって定義される。まず、労働生産性の変化は次のように定義される。
1 ˙ 1 = α \displaystyle {\frac {\dot {a}}{a}}=\alpha } つまり、安定した成長、1 t = 1 0 e α t {\displaystyle a_{t}=a_{0}e^{\alpha t}} x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} d x / d t \displaystyle {dx}/{dt}}
n ˙ n = β {\displaystyle {\frac {\dot {n}}{n}}=\beta } また、着実な成長が続き、n t = n 0 e β t {\displaystyle n_{t}=n_{0}e^{\beta t}}
w ˙ w = − γ + ρ v {\displaystyle {\frac {\dot {w}}{w}}=-\gamma +\rho v} つまり、実質賃金変化曲線は線形としてモデル化されます。仮定を正しくモデル化するために、γ {\displaystyle \gamma } ρ {\displaystyle \rho } v {\displaystyle v} 逼迫し ている」（雇用率がすでに高い）場合、賃金には上昇圧力がかかり、労働市場が「緩い」場合はその逆になります。
資本はそれに応じて変化する
k ˙ = q s {\displaystyle {\dot {k}}=qs} 余剰は資本家によって完全に投資されると想定されるため。最後に、生産量は
q ˙ q = s σ {\displaystyle {\frac {\dot {q}}{q}}={\frac {s}{\sigma }}} つまり、投資された余剰金に比例する。
ご了承ください
q ˙ q = k ˙ k = 1 − u σ {\displaystyle {\frac {\dot {q}}{q}}={\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {1-u}{\sigma }}} kとqが同じ速度で成長するという仮定、資本の完全利用と規模に対する収穫 一定の仮定によって。
解決 定義方程式は解くことができるu ˙ {\displaystyle {\dot {u}}} v ˙ {\displaystyle {\dot {v}}}
v ˙ = v （ − 1 σ u + 1 σ − α − β ） {\displaystyle {\dot {v}}=v(-{\frac {1}{\sigma }}u+{\frac {1}{\sigma }}-\alpha -\beta )} u ˙ = u （ ρ v − γ − α ） {\displaystyle {\dot {u}}=u(\rho v-\gamma -\alpha )} これらはモデルの主要な方程式であり、実際には生物学で捕食者と被食者の相互作用をモデル化するために用いられるロトカ・ボルテラ方程式 です。これらの方程式には2つの固定点があります。1つ目は、
u = 0 {\displaystyle u=0} v = 0 {\displaystyle v=0} そして2つ目は
u = 1 − （ α + β ） σ {\displaystyle u=1-(\alpha +\beta )\sigma } v = γ + α ρ {\displaystyle v={\frac {\gamma +\alpha }{\rho }}} これは、一連の周期軌道の中心を決定する。
このモデルは明示的に解くことができないため、位相図 を用いて経済の軌跡を分析することが有益である。サイクルの中心を定義する2本の線は、正の象限を4つの領域に分割する。下の図は、各領域における経済の動きを矢印で示している。例えば、北西領域（雇用率が高く、生産における労働分配率が低い）では、経済は北東方向に動いている（雇用率が増加し、労働者分配率が増加している）。u*線を越えると、南西方向に動き始める。
下の図は、潜在生産量 （完全雇用時の生産量）、実際の生産量、および賃金の経時的な変化を示しています。
ご覧のとおり、グッドウィンモデルは、需要側または供給側のいずれにおいても、外部ショックに関する外的仮定に頼ることなく、経済活動の内生的変動を生み出すことができる。
統計 米国の
賃金シェア （青線）と民間
雇用人口比率 （赤線）グッドウィンモデルによれば、賃金シェアは雇用率に遅れて上昇すると予想される。これは、わずかな時間差ではあるものの、実際に当てはまるようだ。
注記 ↑ Orlando, Giuseppe; Sportelli, Mario (2021), "成長とサイクルは闘争である：ロトカ・ボルテラ、グッドウィン、フィリップス" , Orlando, Giuseppe; Pisarchik, Alexander N.; Stoop, Ruedi (eds.), Nonlinearities in Economics: An Interdisciplinary Approach to Economic Dynamics, Growth and Cycles , Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance, vol. 29, Cham: Springer International Publishing, pp. 191– 208, doi : 10.1007/978-3-030-70982-2_14 , ISBN 978-3-030-70982-2 2022年4月5日 取得 ↑ Veneziani, Roberto; Mohun, Simon (2006). "構造的安定性とグッドウィンの成長サイクル". Structural Change and Economic Dynamics . 17 (4): 437– 451. doi : 10.1016/j.strueco.2006.08.003 .
参考文献 グッドウィン、リチャード・M. (1967)、「成長サイクル」、CH ファインスタイン編『社会主義、資本主義、経済成長』 所収。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。 グッドウィン、リチャード・M、『混沌とした経済ダイナミクス 』、オックスフォード大学出版局 、1990年。 フラシェル、ピーター、『資本主義のマクロダイナミクス ― マルクス、ケインズ、シュンペーターの統合のための要素』第2版、シュプリンガー・フェルラーク・ベルリン、2010年。第4.3章。 
