目標ベースの投資

目標ベースの投資または目標主導型投資(略して GBI) は、金融市場を利用して、指定された期間内に目標を達成するための資金を調達することです。従来のポートフォリオ構築では、予想されるポートフォリオの分散とリターンのバランスを取り、リスク回避指標を使用して最適な投資の組み合わせを選択します。これに対し、GBI は、投資の組み合わせを最適化して、設定された期間内に最低限の資産レベルを達成できない可能性を最小限に抑えます。

目標ベースの投資家は多数の目標（「目標空間」と呼ばれる）を持ち、資本はこれらの目標全体と目標内の投資に配分されます。マズローの欲求階層説に従えば、より重要な目標（例：生存の欲求：食料、住居、医療）は、それほど重要でない目標（例：別荘やヨットの購入などの野心的な目標）よりも優先されます。^[1]投資家の目標間で資本が分配されると、ポートフォリオは各指定目標を達成する確率が最も高くなるように最適化されます。これは保険会社の資産負債管理や年金基金の負債主導型投資戦略に似たアプローチですが、GBI は財務計画と投資管理をさらに統合し、家計の目標が効率的に資金提供されるようにします。

目標ベースの投資では、資産は投資家が利用できるリソースの完全なセット（金融資産、不動産、雇用所得、社会保障などを含む）であり、負債は世帯の財務目標と願望の資本化価値に加えて金融負債（ローン、住宅ローンなど）です。GBIは、個人または家族にとっての重要度に応じて、基本的なニーズ、ライフスタイルの欲求、または遺産の願望として分類される目標に対する進捗状況を考慮に入れます。^[2]また、目標を特定し、それらの目標に対する投資戦略を選択するための明確なプロセスを提供することで、軽率な投資決定を防ぐのにも役立ちます。これらの目標には、子供を良い学校に入れる能力、早期退職、退職後の質の高い生活を可能にすることなどが含まれます。

出典: ^[3]

目標ベースの投資家は通常、限られた富のプールをめぐって競争する目標の集合を持っていると想定されます。この目標の集合 は目標空間と呼ばれ、目標が目標 よりも好まれ、目標 が目標 よりも好まれるなど、目標の総数 にわたって順位付けされます。数学的には、目標は 3 変数ベクトル として定義されます。ここで、 は目標に充てられている現在の富、は目標に資金を提供するために必要な将来の富、 は目的に資金を提供しなければならない期間です。と は投資家によって与えられ、 は目標全体にわたる最適化手順の出力です。現在の富 は、投資家が目標に充てている全体の富の割合と考えることもできます。この定義により、目標ベクトルは と同等に述べることができ、は投資家が利用できる富の合計プールを表し、 はこの特定の目標に割り当てられている富の合計プールの割合を表します (もちろん)。 ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$${\displaystyle \{A,B,C,...,N\}\in {\mathsf {G}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A=(w,W,t)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W}$${\displaystyle t}$${\displaystyle W}$${\displaystyle t}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle A=(\varpi \vartheta ,W,t)}$${\displaystyle \varpi}$${\displaystyle \vartheta}$${\textstyle \sum _{i}\vartheta _{i}=1}$

目標空間全体にわたる選好を宣言できるため、 となる価値関数が存在します。したがって、投資家の目的は、目標空間内の各目標への富の配分を変化させることで効用を最大化し、各目標内の潜在的な投資への富の配分を変化させることです。 ${\textstyle A\succeq B\implies v(A)\geq v(B)}$

${\displaystyle \max _{\vartheta ,\omega }\sum _{i}^{N}v(i)\phi (\varpi \vartheta _{i},W_{i},t_{i})}$

ここで、は入力が与えられた場合に目標を達成する確率である。ほとんどの理論的応用では、はガウス分布であると仮定され（ただし、応用に適合する任意の分布モデルが使用される）、通常は次の形式をとる。 ${\displaystyle \phi (\cdot )}$${\displaystyle \phi (\cdot )}$${\displaystyle \phi (\varpi \vartheta ,W,t)}$

${\displaystyle \phi (\varpi \vartheta ,W,t)=1-\Phi \left({\frac {W}{\varpi \vartheta }}^{\frac {1}{t}}-1;\mu ,\sigma \right)}$

ここで、はガウス累積分布関数、は指定された期間内にポートフォリオの目標を達成するために必要な収益、 は投資ポートフォリオの期待収益と標準偏差です。期待収益とボラティリティは、それ自体がポートフォリオの投資ウェイトの関数です。 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\textstyle {\frac {W}{\varpi \vartheta }}^{\frac {1}{t}}-1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mu =\sum _{i}\omega _{i}m_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i}\omega _{i}^{2}s_{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{i\neq j}\omega _{i}\omega _{j}s_{i}s_{j}\rho _{i,j}}$

は投資の期待収益を表し、は投資の期待標準偏差を表し、は投資と投資の相関関係を表します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \rho _{i,j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

このモデルの実装は再帰的であるため、ある程度複雑です。目標を達成する確率は、目標に割り当てられた資産の量と、各目標のポートフォリオ内の投資の組み合わせに依存します。ただし、投資の組み合わせは、目標に割り当てられた資産の量に依存します。この再帰性を克服するには、まず資産の割り当ての離散レベルに対して最適な投資の組み合わせを見つけ、次にモンテカルロ エンジンを使用して最大の効用を見つけます。

目標ベースの投資と現代ポートフォリオ理論 (MPT) の根本的な違いは、「リスク」の定義にあります。MPT ではリスクをポートフォリオのボラティリティと定義しますが、GBI ではリスクを目標達成に失敗する確率と定義します。当初、これらの競合する定義は相互に排他的であると考えられていましたが^[4] 、後にほとんどの場合、この 2 つは数学的に同義であることが示されました。^[5]投資家の借入能力や空売り能力に制限がない場合、資産をさまざまな口座に分割するコストは発生しません。^[6]また、平均分散最適化と確率最大化の間に数学的な違いはありません。ただし、目標ベースの投資家は、一般的に借入能力や空売り能力に制限があると想定されています。これらの現実世界の制約の下では、有効フロンティアにはエンドポイントがあり、ポートフォリオの必要収益 ( ) が平均分散有効フロンティア ( ) によって提供される最大収益よりも大きい場合、確率最大化は平均分散最適化とは異なる結果をもたらします。これは、分散を最小化するのではなく増加させることによって確率を最大化する場合です。 MPT の二次効用形式では、投資家は常に分散回避的であると想定されますが、GBI では、投資家は の場合には分散追求的、 の場合には分散回避的、 の場合には分散無関心であると想定されます。したがって、空売りとレバレッジが制限されている場合、 平均分散ポートフォリオは、目標ベースのポートフォリオによって一次確率的に支配されます。${\displaystyle r_{req.}}$${\displaystyle \mu _{e}}$${\displaystyle r_{req.}>\mu _{e}}$${\textstyle u=r-{\frac {\gamma }{2}}\sigma ^{2},\gamma >0}$${\textstyle r_{req.}>\mu _{e}}$${\displaystyle r_{req.}<\mu _{e}}$${\displaystyle r_{req.}=\mu _{e}}$

純粋な形では、現代ポートフォリオ理論は投資家の目標を考慮しません。むしろ、MPT ポートフォリオは投資家の分散回避パラメータを使用して選択され、将来の資産要件、現在の利用可能な資産、目標を達成しなければならない期間などは考慮されません。その後、MPT はこれらの変数を含めるように調整されましたが、目標ベースのポートフォリオ ソリューションは、調整された MPT よりも目標達成の確率が高くなります。 ${\displaystyle \gamma }$

ほとんどの用途では、平均分散最適化ポートフォリオと目標ベースのポートフォリオは同じです。投資家が初期資産をほとんど割り当てていない野心的な目標の場合、目標ベースのポートフォリオは、平均分散効率の高いポートフォリオからは除外される高分散の投資を優先します。

目標ベースの投資は、行動ファイナンスによる観察と、現代ポートフォリオ理論(MPT)に対する継続的な批判から生まれました。リチャード・セイラーは、個人は自分の富を心の中で細分化し、それぞれの心の中の「バケツ」を異なる目的に充てる傾向がある (メンタル・アカウンティングと呼ばれる概念) と観察し、これが後に GBI が発展する基礎となりました。実際、一部の著者は目標ベースのポートフォリオを「メンタル・アカウント」と呼んでいます。他の著者は、特に税金の観点から、MPT を個人に適用するとそれほど効果的ではないと批判し始めました。^{[7] [8]}

行動ポートフォリオ理論（BPT）は、メンタルアカウンティングとリスクの再定義を組み合わせ、目標を達成できない確率とし^[4]、投資家は必要以上のリターンと目標を達成できないリスクを天秤にかける。BPTはMPTの採用に関する問題も明らかにした。ほとんどの実務家は、ポートフォリオの期待リターンが目標を達成するために必要なリターンと等しくなるように投資ポートフォリオを構築していたが、BPTは、これが必然的に目標を達成する確率を50%にすることを示した^[2] 。したがって、目標ベースの投資の確率最大化コンポーネントは、行動ポートフォリオ理論から採用された。

このアプローチに対する初期の批判者は、資産を別々のポートフォリオに分配すると、非効率的な平均分散ポートフォリオが生成される可能性があると主張しました。しかし、最終的には、空売りとレバレッジが認められている限り、このメンタルアカウンティングフレームワークの物理的な表現は必ずしも非効率的ではないことが示されました。すべてのポートフォリオが平均分散の有効フロンティア上にある限り、集計ポートフォリオもフロンティア上に存在することになります。^[6]

他の研究者は、リスク回避パラメータが時間の経過とともに、またさまざまな目的に応じて変化することが示されたため、個人に適用する場合の MPT の使用にさらに疑問を呈しました。キャリー H. パンとメイア スタットマンは、「先見は後見とは異なり、先見で評価された投資家のリスク許容度は、後見で評価されたリスク許容度とは異なる可能性が高い」と述べています。^[9] MPT は行動ポートフォリオ理論と統合され、その統合作業ではリスク回避パラメータが削除されました。投資家は、リスク回避パラメータを評価するのではなく、特定の目標に対して受け入れる最大の失敗確率を指定するように求められます。この確率の数値は、数学的に MPT のリスク回避パラメータに変換され、ポートフォリオの最適化は平均分散線に沿って進みます。^[5]この統合作業では、元の行動ポートフォリオ理論のリスクは失敗確率であるという考え方が削除され、必要な収益がポートフォリオの期待収益よりも大きい場合に実行不可能なソリューションがもたらされました。

投資家が目標間で富をどのように配分すべきかという問題において、ジャン・ブルネルは、失敗の最大確率を宣言することは、数学的には最小のメンタルアカウント配分を宣言することと同義であると指摘しました。^[2]投資家はメンタルアカウント内とメンタルアカウント間で配分することができますが、残りの余剰富を配分するには、まだ何らかの話し合いが必要でした。

合成された MPT の実現不可能な問題と「余剰富」の配分問題を解決するために、BPT の元の確率最大化コンポーネントが復活し、目標値関数が導入されました。投資家は、目標間で富を配分し、各目標内で投資に配分するという 2 層の配分決定に直面します。

目標に基づいた投資研究を促進する取り組みの一環として、1998 年に 「The Journal of Wealth Management」が創刊されました。

目標ベースの投資 (GBI) の主な課題は、投資家の目標を達成する確率を可能な限り高め、市場状況の悪化により目標を達成できない場合でも期待損失を適度に低く抑えることを目指した専用の投資ソリューションを実装することです。現代ポートフォリオ理論や標準的なポートフォリオ最適化手法は、この問題を解決するのに適していません。

Deguest、Martellini、Milhau、Suri、Wang (2015) ^[10]は、Chhabra (2005) ^[11]で提案された資産管理に対する目標ベースのリスク配分アプローチを形式化し、個人投資家がすべてのライフステージと資産セグメントで直面するリスクのカテゴリに最適に配分して、個人的に意味のある財務目標を達成できるようにする一般的な運用フレームワークを紹介します。目標ベースの資産管理のためのリスク配分フレームワークを開発する際の重要な特徴の1つに、体系的なルールベースの複数期間ポートフォリオ構築方法の導入が含まれます。これは、リスクと目標が通常複数の時間枠にわたって持続することを考えると必須の要素です。学術研究では、投資家が自分の資金とリスク予算を考慮して意味のある目標を達成する確率を最大化できるようにするための投資ソリューションフレームワークを開発するには、3つのリスク管理形式（分散、ヘッジ、保険）を効率的に使用する必要があることが示されています。その結果、フレームワークの主な焦点は、報酬付きリスクエクスポージャーの効率的な管理にあります。

GBI 戦略は、投資家の最も重要な目標 (「必須」とラベル付けされている、つまり、手頃で安全な目標) を確保すると同時に、最も重要な目標と合わせて完全に資金を調達することができない野心的な目標 (「野心的」と呼ばれる) を含むその他の目標の達成についても、かなり高い成功率を実現することを目指しています。レバレッジが制限された、十分に分散されたパフォーマンス追求型ポートフォリオ (PSP) へのエクスポージャーを保有すると、このような野心的な目標を達成できる可能性が中程度になることが多く、個人投資家は、非上場企業の株式所有などの形で、一般的に流動性が低く集中したリスク エクスポージャーを含む野心的な資産を保有することで、これらの目標を達成できる可能性を高めることができます。

目標ベースの資産管理フレームワークには、2 つの明確な要素が含まれています。1 つは、投資家の好みを、関連する負債の優先順位と期間構造に基づいて、同様の主要特性を持つ目標のグループに分解することです。もう 1 つは、これらのグループを、対応するリスクとリターン特性を持つ最適化されたパフォーマンス ポートフォリオまたはヘッジ ポートフォリオにマッピングし、そのようなパフォーマンス ポートフォリオとヘッジ ポートフォリオに効率的に配分することです。より正確には、このフレームワークには、多数の客観的および主観的な入力、および多数のビルディング ブロックと資産配分の出力が含まれており、これらはすべて 5 つのステップのプロセスで表現されます。

1. 客観的な入力 - 市場の不確実性の現実的な説明

2. 主観的入力 - 投資家の状況の詳細な説明

3. ビルディングブロック出力 - 目標ヘッジとパフォーマンス追求ポートフォリオ

4. 資産配分の出力 - リスクの高いビルディングブロックと安全なビルディングブロックの動的な分割

5. 出力の報告 - 目標達成の確率の更新

ほとんどの先進国では、人口不均衡の拡大と生産性の伸びの低下により年金制度が脅かされています。公的および私的退職金を任意の拠出金で補う必要があるため、個人はますます自分の退職後の貯蓄と投資の決定に責任を持つようになっています。

目標ベース投資の原則は、退職問題にも適用できる（Giron、Martellini、Milhau、Mulvey、Suri、2018）。^[12] 退職投資では、目標は代替所得を生み出すことである。最初のステップは、リスク資産のリスクプレミアムなどのパラメータ値の仮定に関係なく、投資家の本質的な目標を効果的かつ確実に確保する安全な「目標ヘッジポートフォリオ」（GHP）を特定することである。言い換えれば、GHPは代替所得の観点から退職貯蓄の購買力を確保する必要があるが、これは退職貯蓄の名目価値を確保することとは明らかに異なる目的である。

投資家が達成したいが、現在のリソースでは確保できない代替収入の目標レベルは、野心的な目標と言われています。一方、必須目標は、投資家が最高の信頼レベルで確保したい、手頃な収入レベルです。ほとんどの場合、現在の貯蓄は、望ましい生活水準を賄うための目標収入レベルを賄うのに不十分であるため、投資家はパフォーマンス追求ポートフォリオ (PSP) を介して上昇の可能性にアクセスする必要があります。最適なペイオフは、PSP へのドル配分がリスク予算の倍数で与えられる単純な動的 GBI 戦略で近似できることが示されています。リスク予算は、現在の貯蓄と必須目標の現在価値に等しい下限との間の距離として定義されます。

この戦略形態は、GHPをコア、PSPをサテライトとするAmenc、Malaise、Martellini（2004）^[13]の動的コア・サテライト投資アプローチを彷彿とさせます。このアプローチでは、PSPの上昇分の一部を獲得しながら、資金調達比率の低下リスクを一定レベルに制限することで、代替所得ポートフォリオに関するトラッキングエラーを非対称的に管理できます。実装の観点からは、観測可能なパラメータのみに基づいているという点で、確率最大化戦略よりも優れています。

最高の成功確率を達成するために、GBI 戦略にはストップゲイン メカニズムが組み込まれています。このメカニズムにより、現在の資産が目標レベルの代替収入キャッシュフローを購入できるほど十分に高くなった場合、つまり目標が達​​成された最初の日にすべての資産が GHP に移されます。適切な GHP とリスク管理された投資アプローチを使用することで、退職後の GBI 戦略は、上昇の可能性を犠牲にすることなく、投資された各ドルの購買力の一定の割合を確保します。

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