ギップスのモデル

ギップスモデルは、英国の自動車運転者の 車追従行動を記述するための数学モデルです。

このモデルは、1970 年代後半にニューカッスル・アポン・タイン大学の交通運用研究グループとユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの交通研究グループで SRC 助成金を受けて開発した Peter G. Gipps にちなんで名付けられました。

ギップスのモデルは、交通の流れの中でのドライバーの行動と車両に対する期待に直接基づいています。安全上の目的でドライバーと車両のパラメータに制限を設けることで、交通の流れの先頭を走る車両に続く車両の特徴を模倣しています。^{[1]ギップスのモデルは、}数値解析に必要な計算を減らすために関数内で に等しいタイムステップを使用する点で他のモデルと区別されます。 ${\displaystyle \tau}$

連続空間に沿って個々の自動車をモデル化する手法は、Chandler ら (1958)、Gazis ら (1961)、^[2] Lee (1966)、Bender と Fenton (1972) ^[3]に端を発しているが、その後も多くの論文が発表され、現在も続いている。これらの論文は、1950 年代半ばのいくつかの著作にその基礎を置いている。特に重要なのは、流体力学やガスの動きとの類似性を持つ論文である (Lighthill と Whitman (1955) と Richards (1956) は、交通密度が位置の関数であると仮定し、Newell (1955) は、人口の少ない道路に沿った自動車の動きとガスの動きとの類似性を指摘している)。「高速コンピュータ」による交通シミュレーションについて最初に言及したのは、Gerlough と Mathewson (1956) と Goode (1956) である。

交通の流れの中の車両と、その後の行動や反応をモデル化するきっかけとなったのは、道路パラメータの変化を分析する必要性です。実際、多くの要因 (ドライバー、交通の流れ、道路状況など) が交通の挙動に影響します。Gipps (1981) は、当時のモデルを一般的な形式として次のように説明しています。

${\displaystyle a_{n}(t+\tau)=l_{n}{\frac {\left[v_{n-1}(t)-v_{n}(t)\right]^{k}}{\left[x_{n-1}(t)-x_{n}(t)\right]^{m}}}}$

これは主に、1 台の車両 (下付き文字 n で表記) が別の車両 (下付き文字 n-1 で表記) に追従すること、後続車両の反応時間、後続車両と先行車両の位置、速度、 時刻における後続車両の加速度、そして最後に、モデルを実際の状況に合わせて調整するためのモデル定数、、で定義されます。Gipps は、加速度、速度、位置の連続的な再計算の間隔は反応時間の一部であることが望ましいと述べており、このモデルをシミュレーションプログラムで使用する場合は、かなりの量の履歴データを保存する必要があります。また、パラメーター、は、ドライバーまたは車両の識別可能な特性と明らかな関係がないことも指摘しています。そこで、彼は新しい改良モデルを導入しています。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle x_{n}(t)}$${\displaystyle x_{n-1}(t)}$${\displaystyle v_{n}(t)}$${\displaystyle v_{n-1}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t+\tau )}$${\displaystyle (t+\tau )}$${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

Gipps モデルは次の特性を反映する必要があります。

1. モデルは現実の状況を反映する必要があり、
2. モデルパラメータは過度の計算をすることなく観測可能なドライバー特性に対応している必要があり、
3. 速度と位置の連続的な再計算の間隔がドライバーの反応時間と同じである場合、モデルは期待どおりに動作するはずです。

ギップスは、安全性を考慮し、ドライバーは前方の車両に基づいて速度を推定し、必要に応じて完全に安全に停止できると想定して、モデルに制限を設けています (1981)。パイプス (1953) や他の多くの人は、安全な追従速度を定義するさまざまなドライバー部門のコードに基づいてモデルに追従特性を定義しました。これは非公式には「2 秒ルール」として知られていますが、正式にはコードによって定義されています。

モデル表記

• ${\displaystyle a_{n}}$車両の運転手が望む最大加速度である。${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle b_{n}}$車両の運転手が望む最も強いブレーキである。${\displaystyle n}$${\displaystyle (b_{n}0)}$
• ${\displaystyle s_{n}}$車両の有効サイズ、つまり物理的な長さに、後続車両が停止しているときでも侵入することのない余裕を加えたものである。${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle V_{n}}$車両の運転手が走行したい速度である。${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x_{n}(t)}$は、時刻*における車両前部の位置であり、${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle v_{n}(t)}$は時刻における車両の速度であり、${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \tau }$見かけの反応時間であり、すべての車両に共通する定数である。^[3]

発展につながる制約

Gipps は、一連の制限によってモデルを定義します。次の車両は、ドライバーの希望する速度を超えないこと、およびエンジン トルクが増加すると自由加速度が速度とともに最初に増加し、希望する速度に達するとゼロに減少することという 2 つの制約によって制限されます。

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )\leq v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}/V_{n})(0.025+v_{n}(t)/V_{n})^{1/2}}$

3番目の制約であるブレーキは次のように与えられる。

${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }=x_{n-1}(t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}}$

地点 における車両の場合、（車両nの場合、次のように与えられる） ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }}$${\displaystyle x_{n}^{\ast }}$

${\displaystyle x_{n}^{\ast }=x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2-v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}}$その時${\displaystyle t+\tau }$

安全のため、車両 n (後続車両) のドライバーは、車両 n-1 が停止する地点 ( ) と車両 n-1 の有効サイズ ( ) との差が、車両 n が停止する地点 ( ) よりも大きくなるようにする必要があります。しかし、ギップスは、車両 n のドライバーが追加のバッファを許容し、ドライバー n が速度 で走行しているときに遅延の安全マージンを導入することを発見しました。したがって、ブレーキ制限は次のように表されます。 ${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }}$${\displaystyle s_{n-1}}$${\displaystyle x_{n}^{\ast }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle v_{n}(t+\tau )}$

${\displaystyle x_{n-1}(t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}-s_{n-1}\geq x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2+v_{n}(t+\tau )\theta -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}}$

交通中のドライバーは を推定できないため、 は推定値 に置き換えられます。したがって、置き換え後の上記の結果は、 ${\displaystyle b_{n-1}}$${\displaystyle {\hat {b}}}$

${\displaystyle -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}+v_{n}(t+\tau )(\tau /2+\theta )-\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]+v_{n}(t)\tau /2+v_{n-1}(t)^{2}/2{\hat {b}}\leq 0}$

導入された遅延が反応時間 の半分に等しく、ドライバーが急ブレーキをかける意思がある場合、モデルシステムは流れを乱すことなく継続することができます。したがって、前の式はこれを念頭に置いて書き直すと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau /2}$

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )\leq b_{n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2}-b_{n}\left(2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\right)}}}$

最終的な仮定が正しい場合、つまり、ドライバーが可能な限り高速かつ安全に走行する場合、ドライバーの車両の新しい速度は、ギップスのモデルである最終方程式によって与えられます。

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )={\mbox{min}}\left\{v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}(t)/V_{n})\left(0.025+v_{n}\left(t\right)/V_{n}\right)^{1/2}\right.,}$

${\displaystyle \left.b_{n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2}-b_{n}\left[2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\right]}}\right\}}$

ここで、最小化方式の最初の引数は、混雑していない道路と大きなヘッドウェイを表します。一方、2 番目の引数は、ヘッドウェイが小さく、後続車両によって速度が制限される混雑した状況を表します。

次のタイムステップで車両の速度を決定するために使用されるこれら 2 つの方程式は、それぞれ自由流れと混雑した状態を表します。車両が自由流れにある場合、方程式の自由流れブランチは、車両の速度が現在の速度、ドライバーが移動しようとしている速度、および車両の加速度の関数として増加することを示します。これら 2 つの方程式の変数を分析すると、2 台の車両間のギャップが減少するにつれて (つまり、後続車両が先行車両に近づくにつれて)、方程式の混雑ブランチによって示される速度が減少し、それが優勢になる可能性が高くなることが明らかになります。

次のタイムステップでの車両の速度を決定した後、次のタイムステップでの位置を計算する必要があります。ユーザーが希望する精度に応じて、これを行うために使用できる数値 (ルンゲ・クッタ) 法がいくつかあります。次のタイムステップでの車両の位置を計算するために高次の方法を使用すると、より正確な結果が得られます (各方法が同じタイムステップを使用する場合)。数値法は、インテリジェント ドライバー モデルなどの他の車両追従モデルで車両の位置を見つけるためにも使用できます。

オイラー法(一次、おそらく最も単純な数値法) を使用すると正確な結果を得ることができますが、タイムステップを非常に小さくする必要があり、計算量が多くなります。また、車両が停止し、後続の車両がそれに近づくと、オイラー法が使用され、タイムステップが大きすぎる場合、速度方程式の混雑部分の平方根の下の項がゼロを下回る可能性もあります。次のタイムステップでの車両の位置は、次の式で与えられます。

x(t+τ) = x(t) + v(t)τ

高次法では、現在のタイムステップの速度だけでなく、前のタイムステップの速度も使用して、より正確な結果を生成します。たとえば、Heun 法(2 次) では、現在のタイムステップと前のタイムステップの速度を平均して、車両の次の位置を決定します。

Butchers メソッド (5 次) では、同じ問題を解決するためにさらにエレガントなソリューションを使用します。

x(t+τ) = x(t) + (1/90)(7k ₁ + 32k ₃ + 12k ₄ + 32k ₅ + 7k ₆ )τ

k ₁ = v(t-τ)

k ₃ = v(t-τ) + (1/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₄ = v(t-τ) + (1/2)(v(t) - v(t-τ))

k ₅ = v(t-τ) + (3/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₆ = v(t)

高次法を使用すると、速度方程式の混雑した枝の平方根の下の項がゼロを下回る確率が減少します。

シミュレーションの目的では、次のタイムステップへの移動を決定する前に、タイムステップごとに各車両の速度と位置が計算されていることを確認することが重要です。

2000 年、ウィルソンは環状道路での運転者の行動をシミュレートするためにギップス モデルを使用しました。この場合、システム内のすべての車両が別の車両を追従します。先頭車両は最後の車両を追従します。実験の結果、環状道路の密度が低い場合、車両は自由な時間空間の軌道をたどることが示されました。しかし、道路上の車両数が増えると (密度が増加すると)、ギップス モデルの速度方程式の混雑部分が優勢になり、 運動波が形成され始めます。

• ニューウェルの車両追従モデル
• インテリジェントドライバーモデル
• ルンゲ・クッタ法の一覧
• シミュレーション
• 交通シミュレーション

• Bender, JC および Fendon RE (1972) 車両の縦方向のダイナミクスについて。交通流と輸送、19-32 ページ。Elsevier、ニューヨーク。
• Gazis, DC, Herman R. および Rothery RW (1961) 交通流の非線形追従リーダーモデル。Ops . Res. Vol. 9、545–567。
• Gipps, PG (1976)「複数車線信号制御道路の車両検知器からの出力をシミュレートするコンピュータ プログラム MULTSIM」。Transport Operations Research Group ワーキング ペーパー No. 20、ニューカッスル アポン タイン大学。
• Lee, G. (1966) 線形車両追従理論の一般化Ops. Res. Vol. 9, 209–229.
• Seddon, PA (1972) 道路交通における小隊の分散をシミュレートするプログラム。シミュレーション第 18 巻、81 ～ 90 ページ。