ギャンブルと情報理論

統計的推論は、ギャンブル理論を私たちの周りの世界に応用したものと考えることができます。対数情報測定の無数の応用は、部分的な情報に対して最善の推測をどのように行うかを正確に教えてくれます。^[1] その意味で、情報理論はギャンブル理論の正式な表現であると考えられます。したがって、情報理論が運任せのゲームに応用されていることは驚くことではありません。^[2]

ケリー賭博または比例賭博は、情報理論を投資とギャンブルに応用したものです。その発見者はジョン・ラリー・ケリー・ジュニアです。

ケリーの洞察力の一部は、ギャンブラーに、各賭けから期待される利益ではなく、資本の対数の期待を最大化させることでした。これは重要です。後者の場合、有利な賭けを提示されたときに、持っているすべてのお金を賭けることになり、負けた場合は、次の賭けを行う資本がなくなるからです。ケリーは、連続した賭けで加算されるのはギャンブラーの資本の対数であり、「大数の法則が適用される」ことに気づきました。

ビットは、 2 つの結果が考えられ、オッズが均等である賭け可能なイベントのエントロピーの量です。明らかに、そのイベントの結果がどうなるかを事前に知っていれば、お金を 2 倍にすることができます。ケリーの洞察は、賭けのシナリオがいかに複雑であっても、ケリー基準と呼ばれる最適な賭け戦略を使用して、入手できる副次的な情報を使用してお金を指数的に増やすことができるというものでした。この「不正な」副次的な情報の価値は、賭け可能なイベントの結果に対する 相互情報として測定されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|Y)\|P(X|I){\big )}\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|{\textrm {side}}\ {\textrm {information}}\ Y)\|P(X|{\textrm {stated}}\ {\textrm {odds}}\ I){\big )}\},\end{aligned}}}$

ここで、Yはサイド情報、X は賭けられるイベントの結果、I はブックメーカーの知識の状態です。これは、 X の事前分布または提示されたオッズに対するYの値を与えられた場合の、Xの事後確率分布の平均カルバック・ライブラー・ダイバージェンス、または情報ゲインです。期待値は X ではなく Y に対して取られていることに注意してください。つまり、Xに実際のお金を賭け始める前に、サイド情報Y が長期的にどれだけ正確であるかを評価する必要があります。これは、ベイズ推論の直接的な応用です。サイド情報Y は、イベント X に関する知識だけでなく、イベント自体にも影響を与える可能性があることに注意してください。たとえば、Y はオート麦が多すぎた、または水が足りなかった馬である可能性があります。ブックメーカーの観点からは、オッズを作成するときに、時折行われる八百長がすでに考慮されているため、同じ数学がこのケースに適用されます。

サイド情報の性質は極めて扱いにくいものです。すでに述べたように、サイド情報は実際のイベントだけでなく、結果に関する私たちの知識にも影響を及ぼします。ある馬が勝つと私たちに告げる情報提供者がいるとします。私たちは、噂だけでその馬に全財産を賭けたいとは思いません。その情報提供者は別の馬に賭けている可能性があり、自分のオッズを良くするために噂を広めているかもしれません。代わりに、すでに述べたように、サイド情報を長期的に評価し、それがレースの結果とどのように相関しているかを確認する必要があります。こうすることで、情報提供者がどれだけ信頼できるかを正確に判断し、ケリー基準に従って資本の期待対数を最大化するように正確に賭けることができます。情報提供者が私たちに嘘をついているとしても、彼のヒントと実際のレース結果の間に逆相関が見つかれば、彼の嘘から利益を得ることができます。

競馬賭博における倍増率は[ ^3]

${\displaystyle W(b,p)=\mathbb {E} [\log _{2}S(X)]=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\log _{2}b_{i}o_{i}}$

ここで、番目の馬が勝つ確率は、その馬に賭けられた富の割合は、オッズ（配当）は（例えば、番目の馬が勝った場合、賭けた金額の 2 倍が支払われる）です。この量は比例（ケリー）ギャンブルによって最大化されます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle o_{i}}$${\displaystyle o_{i}=2}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle b=p\,}$

そのために

${\displaystyle \max _{b}W(b,p)=\sum _{i}p_{i}\log _{2}o_{i}-H(p)\,}$

情報エントロピーはどこにありますか。 ${\displaystyle H(p)}$

ギャンブラーが得るサイド情報の量と資本の期待される指数関数的成長の間には、重要だが単純な関係が存在します (Kelly):

${\displaystyle \mathbb {E} \log K_{t}=\log K_{0}+\sum _{i=1}^{t}H_{i}}$

最適な賭け戦略の場合、 は初期資本、はt回目の賭け後の資本、 はi回目の賭けに関して得られたサイド情報の量（特に、各賭けイベントの結果に関する 相互情報量）です。${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K_{t}}$${\displaystyle H_{i}}$

この方程式は、取引コストや最低賭け金がない場合に適用されます。これらの制約が適用される場合 (現実世界では常にそうであるように)、別の重要なギャンブルの概念が作用します。期待値がマイナスのゲームでは、ギャンブラー (または悪徳投資家) は最終的に破産する一定の確率に直面しなければなりません。これはギャンブラーの破産シナリオとして知られています。食料、衣服、住居でさえも固定取引コストと見なすことができ、したがってギャンブラーの最終的な破産の確率に寄与することに注意してください。

この方程式は、データ通信という当時の一般的なパラダイムの外でシャノンの情報理論を初めて応用したものでした (ピアス)。

対数確率尺度自己情報量またはサプライズ^[4]の平均は情報エントロピー/不確実性であり、平均差はKLダイバージェンスであり、それ自体がオッズ分析への応用が可能です。サプライズの2つの主な強みは、(i) 非常に小さな確率を扱いやすいサイズの数に減らし、(ii) 確率が乗算されるたびに追加することです。

たとえば、「状態の数は 2 とビットの数に等しい」、つまり #states = 2 ^#bitsと言うことができます。ここで、ビットで測定される量は、前述の対数情報量です。したがって、N 枚のコインを最初に投げてすべて表が出ると、N ビットの驚きがあります。

驚きの付加的な性質と、一握りのコインでその意味を理解できる能力は、ありそうもない出来事 (宝くじに当たる、事故に遭うなど) を文脈の中に位置づけるのに役立ちます。たとえば、1,700 万枚のチケットのうち 1 枚が当選した場合、1 回のランダムな選択で当選した場合の驚きは約 24 ビットです。24 枚のコインを数回投げると、1 回目の試みですべて表が出た場合の驚きを理解できるかもしれません。

この尺度の加法的性質は、代替案を比較検討する際にも役立ちます。たとえば、ワクチン接種による被害の驚きが 20 ビットであると想像してください。ワクチン接種を受けずに病気にかかる驚きが 16 ビットで、病気にかかる場合の被害の驚きが 2 ビットである場合、ワクチン接種を受けないことによる被害の驚きは 16+2=18 ビットにすぎません。ワクチン接種を受けるかどうかに関わらず (たとえば、ワクチン接種にかかる金銭的コストはこの議論には含まれません)、そのようにして、少なくとも、ワクチン接種を受けないことには 1 ビット以上の追加リスクが伴うという事実を知った上で、決定の責任を取ることができます。

より一般的には、確率 p を驚きのビット sbits に、確率= 1/2 ^sbitsとして関連付けることができます。上で示唆したように、これは主に小さな確率で役立ちます。ただし、Jaynes は、真偽のアサーションでは、証拠のビットebits を驚きに対するものから驚きを得るものを引いたものとして定義することもできると指摘しました。ビットでのこの証拠は、オッズ比 = p/(1-p) = 2 ^ebitsに単純に関連し、自己情報自体の利点と同様の利点があります。

情報理論は、不完全な情報に直面しても最善の決定を下せるように情報を定量化する手段と考えることができます。つまり、利用可能な情報のみを使用して最善の決定を下す方法です。賭けのポイントは、不確実なゲーム/レース/試合のすべての関連変数を合理的に評価し、それらをブックメーカーの評価（通常はオッズまたはスプレッドの形で提供されます）と比較し、評価が十分に異なる場合は適切な賭けをすることです。^[5]これが最も使用されるギャンブルの分野はスポーツ賭博です。スポーツハンディキャップは、統計が利用できるため、情報理論に非常に適しています。著名な経済学者は長年にわたり、スポーツを実験室としてさまざまな数学理論をテストしてきましたが、結果は大きく異なっています。

スポーツ賭博に関する理論の 1 つは、それがランダム ウォークであるというものです。ランダム ウォークとは、新しい情報、価格、収益が偶然に変動するシナリオであり、効率的市場仮説の一部です。効率的市場仮説の根底にある考え方は、市場は常に新しい情報に合わせて調整を行うというものです。したがって、市場が調整したのと同じ情報に基づいて取引しているため、誰も市場に勝つことはできません。ただし、ファマによると、^[6]効率的な市場を実現するには、次の 3 つの特性を満たす必要があります。

• 証券取引には取引コストはかからない
• 入手可能なすべての情報は、すべての市場参加者に無料で利用可能である
• 全員が、現在の情報が各証券の現在の価格と将来の価格分布にどのような影響を与えるかについて同意している。

統計学者は、情報理論がスポーツのハンディキャップに有効となるのは、3 番目の条件によるものだと示しています。情報がイベントの結果にどのような影響を与えるかについて全員が同意しない場合、意見が分かれることになります。

• 無関心の原理
• 統計的サッカー予測
• 高度な NFL 統計

• スポーツハンディキャップモデルの統計分析
• 説明変数としてのDVOA