堅牢なパラメータ設計

田口玄一氏によって提唱されたロバストパラメータ設計は、ロバスト化（制御不能な要因による応答変動を最小限に抑える制御因子の設定を見つけること）によって制御変数と制御不能なノイズ変数間の相互作用を利用するために使用される実験設計です。 ^[1]制御変数は、実験者が完全に制御できる変数です。ノイズ変数はスペクトルの反対側にあります。これらの変数は実験環境では簡単に制御できますが、実験の世界の外では制御するのが非常に困難であり、不可能です。ロバストパラメータ設計では、FFDに似た命名規則を使用します。2 ( ^{m1+m2)-(p1-p2)}は 2 レベルの設計で、 m1は制御因子の数、m2はノイズ因子の数、p1は制御因子の分割レベル、p2 はノイズ因子の分割レベルです。

Montgomery (2005) の RPD ケーキ焼きの例を考えてみましょう。実験者はケーキの品質を改善したいと考えています。^[2]ケーキ製造業者はケーキの小麦粉、砂糖、ベーキングパウダーの量、着色料の含有量を制御できますが、オーブンの温度や焼き時間などの他の要因は制御できません。製造業者は 20 分の焼き時間の指示を印刷できますが、現実には消費者の焼き方の習慣を制御することはできません。ケーキの品質のばらつきは、350° ではなく 325° で焼いたり、ケーキをオーブンに入れておく時間が少し短すぎたり長すぎたりすることから生じる可能性があります。ロバストなパラメーター設計は、ノイズ要因が品質に与える影響を最小限に抑えることを目指します。この例では、製造業者は焼き時間の変動がケーキの品質に与える影響を最小限に抑えることを望んでおり、そのためには制御要因の最適な設定が必要です。

RPD は主に、制御不能なノイズ変数が一般的に簡単に制御できるシミュレーション設定で使用されます。現実世界ではノイズ要因を制御するのは困難ですが、実験設定ではこれらの要因の制御は簡単に維持できます。ケーキを焼く例では、実験者は焼き時間とオーブンの温度を変動させて、制御が手に負えなくなった場合に発生する可能性のある変動の影響を理解することができます。

ロバストパラメータ設計は、アダマール行列を使用して最適設計を見つけることができ、効果の階層と因子のスパース性の原則が維持され、完全なRPDを分割するとエイリアシングが存在するという点で、一部実施要因設計（FFD）と非常によく似ています。FFDと同様に、RPDはスクリーニング設計であり、手元のシステムの線形モデルを提供できます。FFDの効果の階層とは、高次の相互作用が応答にほとんど影響を与えない傾向があることを意味します。^[3] Carrawayで述べられているように、主効果が応答に影響を与える可能性が最も高く、次に2因子相互作用、3因子相互作用などが続きます。^[4]効果のスパース性の概念は、すべての因子が応答に影響を与えるわけではないということです。これらの原則は、アダマール行列を分割するための基礎です。分割することにより、実験者はより少ない実行とより少ないリソースで結論を導き出すことができます。多くの場合、RPDは実験の初期段階で使用されます。 2 レベル RPD では因子効果間の線形性が想定されるため、因子の数を減らした後は他の方法を使用して曲率をモデル化できます。

アダマール行列は、+ と - のみで構成される正方行列です。アダマール行列を正規化して分割すると、設計パターンが得られます。ただし、すべての設計が同等というわけではなく、一部の設計が他の設計よりも優れているため、特定の設計基準を使用してどの設計が最適かを判断します。設計パターンを取得した後、実験者は通常、各要因をどの設定に設定する必要があるかを把握します。パターンの各行は実行を示し、各列は要因を示します。左に示す部分的な設計パターンの場合、実験者は応答に影響を及ぼす可能性がある 7 つの要因を特定し、8 回の実行でどの要因が影響を及ぼすかについての洞察を得ようとしています。最初の実行では、要因 1、4、5、および 6 が高レベルに設定され、要因 2、3、および 7 が低レベルに設定されています。低レベルと高レベルは、通常、主題の専門家によって定義される設定です。これらの値は極端ですが、応答が非滑らかな領域に押し込まれるほど極端ではありません。実行ごとに結果が得られます。OFAT法を使用する代わりに、1 回の実行で複数の因子を変動させることにより、変数間の相互作用と個々の因子の効果を推定できます。2 つの因子が相互作用する場合、1 つの因子が応答に与える影響は、別の因子の設定によって異なります。

アダマール行列を適切に分割するのは、非常に時間がかかります。6 つの因子を含む 24 実行の設計を考えてみましょう。各アダマール行列からのアダマール設計の数は 23 から 6 を引いた数で、つまり、各 24×24 アダマール行列から 100,947 の設計になります。このサイズのアダマール行列は 60 個あるため、比較する設計の総数は 6,056,820 です。Leoppky、Bingham、および Sitter (2006) は、完全探索法を使用して、12、16、および 20 実行の最適な RPD をリストしました。完全探索作業は非常に徹底的であるため、より大きな実行サイズに最適な設計は、多くの場合、すぐには入手できません。その場合、他の統計的方法を使用して、許容できる量のエイリアシングのみを許可する方法でアダマール行列を分割することができます。 FFDでは前方選択や後方除去などの効率的なアルゴリズムが開発されているが、制御変数とノイズ変数を区別することで生じるエイリアシングの複雑さのため、これらの方法はRPDにはまだ有効であることが証明されていない。^{[5] [6] [7]}

設計基準を完全に理解するには、履歴と一部実施要因設計を理解する必要があります。FFD は、どの要因が応答に影響を与えるかを理解し、適切な要因設定を見つけることで応答を最適化しようとします。RPD とは異なり、FFD は制御変数とノイズ変数を区別しません。

2003 年、Bingham と Sitter ^[8]は、2 レベルの一部実施要因設計の最大解像度と最小の異常を定義しました。解像度は、存在するエイリアシングの最悪量を決定し、異常はその最悪のエイリアシングが設計にどの程度存在するかを決定します。解像度 III は、2 因子の相互作用を持つエイリアシング主効果を設計します。解像度 IV は、3 因子の相互作用を持つエイリアシング主効果を設計します。解像度 V は、4 因子の相互作用を持つエイリアシング主効果を設計します。解像度が高くなると、高次の相互作用は応答にほとんど影響を与えないため、エイリアシングのレベルはそれほど深刻ではなくなります。解像度は、通常の設計を測定します。つまり、効果は完全にエイリアシングされているか、エイリアシングがまったく行われていないかのどちらかです。次の記述を検討してください。「因子 A は、因子 BC の 2 因子の相互作用を持つエイリアシングされている。」これは、2 因子相互作用 BC が応答に影響を与える場合、因子 A の効果を BC の効果と区別できないため、応答に対する因子 A の効果の推定が汚染されることを意味します。明らかに、解像度 V 設計は解像度 IV 設計よりも優先されます。

同じ解像度のデザインは常に同じというわけではなく、どのタイプのエイリアシングが最も悪いかを知るだけでは、どのデザインが優れているかを判断するのに十分ではありません。代わりに、最悪のエイリアシングがどの程度必要かをさらに調査する必要があります。この考え方は、最小の異常として知られています。より優れたデザインには、最悪のエイリアシングが最も少なく含まれています。デザイン D1 と D2 はどちらも解像度 V のデザインですが、D1 には 4 因子相互作用でエイリアシングされた主効果のインスタンスが多くある場合、D2 の方が優れたデザインです。D2 の方が、適切に推定された効果の量が多いため、優れたデザインです。

Fontana、Pistone、およびRogantin ^{[9] は}、2水準一部実施要因計画の指標関数を作成し、2003年にYeは、この指標関数を正規計画と非正規計画に拡張しました。^{[10] この作業で、Yeは一般化分解能と一般化最小異常を確立しました。正規計画は実行サイズが2の累乗に等しい計画ですが、非正規計画は4の倍数にすることができます。非正規}計画では、効果は完全にエイリアス化されることも、部分的にエイリアス化されることも、まったくエイリアス化されないこともあります。一般化最小異常と一般化分解能では、この部分的なエイリアス化を考慮に入れています。

正式には、Ye (2003) は正規設計と非正規設計を区別し、任意の多項式関数は次のように記述できると述べています。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\sum _{J\in P}b_{J}X_{J}(x)\\&=\sum _{J\in PC}\sum _{K\in PN}b_{J\cup K}X_{J\cup K}(x)\end{aligned}}}$どこ：

${\displaystyle b_{L}={\frac {1}{2^{m}}}\sum _{x\in F}X_{L}(x);\quad b_{0}={\frac {n}{2^{m}}}}$

その場合、デザインは規則的であり、そうでない場合は部分的なエイリアシングが存在します。 ${\displaystyle \left|{\frac {b_{J\cup K}}{b_{0}}}\right|=1}$

Ye がこの指標関数を開発している間、Bingham と Sitter はロバストなパラメータ設計の解像度と異常の解明に取り組んでいました。2006 年に、Leoppky、Bingham、および Sitter は、ロバストなパラメータ設計のための拡張ワード長パターンと指標関数を発表しました。RPD はノイズ要因によるプロセス変動を最小限に抑えることに関心があるため、効果の優先順位は FFD の効果の階層から変わります。主効果は依然として最優先事項であり、2 因子相互作用は依然として 2 番目に優先事項です。ただし、相互作用にノイズによる制御 (CN) 相互作用がある場合、その相互作用は優先度スケールで 0.5 増加します。たとえば、CCN 3 因子相互作用は、3 因子相互作用が 3 番目に優先事項であり、2 因子相互作用が 2 番目に優先事項であり、主効果が最優先事項であるため、FFD では優先度 3 になります。ただし、RPD はノイズ変数に関心があるため、CCN 相互作用は優先度 2.5 の効果です。CN 相互作用により優先度が 0.5 上がります。したがって、従来の優先度3からCN相互作用の0.5を引くと、優先度は2.5となる。優先度の完全な表は、Leoppky、Bingham、Sitter（2006）に記載されている。^[11]

紹介した原則をさらに調査することで、設計比較についての理解が深まります。^{[引用が必要]}

通常の一部実施要因計画では、単語の長さによって、どのような種類のエイリアシングが存在するかが決まります。たとえば、「2367」という単語は、次のようにエイリアシング構造に分解できます。

単語2367の長さは 4 で、最悪の場合のエイリアシングでは、主効果が 3 因子相互作用でエイリアスされ、2 因子相互作用が他の 2 因子相互作用でエイリアスされます。

RPD について話すとき、効果の優先順位が変わったため、単語の長さはそれほど単純ではなくなります。因子 2、3、5 が制御変数で、因子 7 と 8 がノイズ変数である 単語23578 を考えてみましょう。この単語から次のエイリアシング文字列を導き出すことができます。

2=3578、3=2578 5=2378 または C=CCNN
7=2358、8=2357 または N=CCCN
23=578、25=378、35=278 または CC=CNN
27=358 および 28=357 または CN=CCN
235=78 または CCC=NN

どのような種類のエイリアシングが発生するかがわかったので、Leoppky、Bingham、および Sitter の効果の優先順位を使用して、存在するエイリアシングの最悪の量を決定する必要があります。これは、CN 相互作用によってその優先順位が 0.5 上がることを意味します。単語の長さは、エイリアシング文字列の各辺を合計することで得られます。次の表は、単語 23578 で見つかった各エイリアシング タイプの合計を示しています。

合計値が低いほどエイリアシングが悪いことを示すため、このワードは長さ 4 のワーストケースのエイリアシングになります。FFD では制御とノイズの区別は考慮されず、このワードの長さは 5 になることを理解することが重要です^{[引用が必要]}。ただし、RPD はこの区別に関係しており、ワードの長さが 5 のように見えても、設計基準によって優先度 4 が決定されます。ここで、設計 D1 には先ほど解析したワード (23578) のみが含まれていると仮定します。D1 を D2 と比較し、D2 で見つかったワーストケースのエイリアシングの優先度が 3.5 であれば、D1 の方が優れた設計になります。ただし、D2 のワーストケースのエイリアシングの優先度が 4 であれば、最小の異常を考慮する必要があります。設計ごとに、ワーストケースのエイリアシングの各タイプの頻度を計算します。ワーストケースのエイリアシングの発生を最小限に抑える設計として、より優れた設計が選択されます。これらの周波数は、拡張ワード長パターン (EWLP) を使用して整理できます。

最小収差の概念は、Leoppky、Bingham、Sitter (2006) の定義から理解できます。

任意の2 つの2 ^{(m1+m2 )-(p1+p2)}部分実施要因ロバスト パラメータ設計 D1 と D2について、すべてのi < r – 1およびB _r (D1) < B r (D2) に対して B i (D1) = B _i ( D2 ₎となる r が存在する場合、D1 の異常は_D2より少ないと言えます。他の設計の異常が D1 より少ない場合、D1 は異常が最小の部分実施要因ロバスト パラメータ設計です。

Leoppky、Bingham、Sitter (2006) は、RPD 指標関数を次のように提供しています。

与えられたデザイン D と実行x∈Dについて、 D 上のコントラストX _L(x) = Π _l∈L x _{l を}定義します。ここで、L ∈ Pであり、Pは{1, 2, ..., m}のすべてのサブセットの集合です。さらに、P _{C を}{1, 2, ..., m}のすべてのサブセットの集合、P _{N を}{1, 2, ..., m}のすべてのサブセットの集合と定義します。ここで、 P の要素はL ≡ J ∪ K の形式であり、 J ∈ P _Cであり、K ∈ P _Nです。

Bingham と Sitter (2006) は、次の概念を提供することで EWLP を生成します。

F を指標関数F(x)= Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x)を持つロバストパラメータ設計とします。 b _J∪K ≠ 0であれば、X _J∪Kは設計 F の単語で、単語長はr + (1- |b _J∪K ⁄ b ₀ |) / 2です。ここで、|b _J∪K ⁄ b ₀ |は単語X _J∪Kの交絡度の尺度です。さらに、g _{r+l / 2t}を長さ(r+l / 2t)の単語の数とします。ここで、 r = 2.0、2.5、3.0、... は表 2.1 に従います。したがって、ロバストパラメータ設計の拡張ワード長パターンは(g _2.0 ,...,g _{2.0+((t-1)) ⁄ 2t} ,...,g _m-1 ,...,g _{m+(t-1) ⁄ 2t} )となる。

次の EWLP を持つ設計 D1 と D2 を検討します。

D1: [(0 0 3)(2 3 1)(2 5 5)]

D2: [(0 0 3)(2 4 0)(2 4 6)]

EWLP は左から右に読むことができます。左側は最も深刻なレベルのエイリアシングを示し、右に行くほどエイリアシングは深刻ではなくなるからです。D2 は、D1 よりも深刻なエイリアシングが 1 つ多く発生しているため、より優れた設計です。

実験計画法 (DOE) は、実験、モデリング、シミュレーションの基本的な部分です。^[要出典] Banks ^[12]は、「実験計画法は、各シミュレーション複製から収集する必要がある情報、複製の必要数、比較する必要があるモデル パラメータの変更を特定することで、シミュレーションに関連する時間と労力を削減することに関係しています」と述べています。概念モデルがプログラム モデルとして実装された後、DOE は、実験を実行し、最もタイムリーかつコスト効率の高い方法でシミュレーション結果を取得するために必要です。次の例は、RPD を使用して重要な結論を導き出せる状況を示しています。

Brewer、Carraway、および Ingram (2010) から引用した油性マーカーの製造の例を考えてみましょう。専門家は、マーカーの品質に影響を与える可能性のある 7 つの要素 (インクの量、プロパノール含有量、ブタノール含有量、ジアセトン含有量、容器の品質、湿度、温度) を認識しています。インクの量、プロパノール含有量、ブタノール含有量、ジアセトン含有量、容器の品質は製造業者が決定します。湿度と温度は、実験環境では簡単に制御できますが、製品が製造業者の手を離れた後は制御できません。製造業者がマーカーの温度を華氏 35 度から 80 度の間に保つように記載していても、消費者は華氏 90 度の天候にいるか、アドバイスにほとんど注意を払わない可能性があります。この変動は制御できず、製品に対する消費者の意見に影響します。そのため、製造業者は製品が温度による変動に対して堅牢であることを望んでいます。

あらゆる可能な因子の組み合わせを実行するには、128 回の実行が必要です。ただし、このマトリックスを分割すると、はるかに少ない実行回数で因子の効果を確認できます。したがって、分割はコストと時間がかかりません。

RPD が作成されると、各実行の最後に油性マーカーの品質がテストされます。これはライブシミュレーションの例です。油性マーカーの品質をテストするには、現実世界の湿度と温度をシミュレートする必要があります。油性マーカーの製造会社は、マーカーが使用される可能性のある特定の場所まで出向く代わりに、高温または低温と湿度をシミュレートすることを選択します。製造業者は時間と費用を節約し、極端な気象条件やその他の場所でマーカーを使用するのと同じ効果に近づけることができます。

店長として雇われ、労働効率を高めたいと考えていると想像してください。一日中同じ数のスタッフが勤務していますが、店舗は正午から午後 3 時半までは混雑し、午後 7 時以降は空いています。人員不足になるリスクを冒したくないので、さまざまなシナリオをシミュレートして、最適なスケジュール ソリューションを決定することにしました。スケジュールの最適性に影響を与える制御要因にはシフトの人数が含まれる場合がありますが、制御不能な要因には天候や交通量が含まれる場合があります。

建設的モデルは、当面のジレンマを理解するために実装され、RPD は、ノイズ要因の影響を最小限に抑えるために必要な制御要因の設定を決定するために使用される方法です。言い換えると、RPD を使用して、天候や交通量に関係なく、店舗の人員が不足したり過剰になったりしないように、各シフトに必要な人員数を決定できます。

RPD は FFD と非常に密接に関連しているため、同じ分析方法を適用できます。ANOVAを使用すると、どの要因が重要であるかを特定できます。中心点を実行して、曲率が存在するかどうかを判断できます。多くの統計ソフトウェア パッケージには、分析用にすぐに使用できる分割プロット デザインが保存されています。RPD はスクリーニング デザインであり、応答に影響を与えると考えられる要因の数を減らすためによく使用されます。

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