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フィッシャーの不等式は、バランスのとれた不完全ブロック計画、つまり組合せ数学における特定の規定条件を満たすサブセットのシステムが存在するための必要条件です。集団遺伝学者および統計学者のロナルド・フィッシャーによって概説されました。彼は、ブロックと呼ばれるいくつかの異なる生育条件のそれぞれにおける、いくつかの異なる植物の品種間の違いを研究するなどの実験計画に携わっていました。
させて：
- v は植物の品種の数である。
- b はブロックの数です。
バランスのとれた不完全ブロック設計にするには、次の条件を満たす必要があります。
- 各ブロックにはk種類の異なる変種があり、 1 ≤ k < vです。どのブロックにも 2 度出現する変種はありません。
- 任意の 2 つの変種が正確にλ 個のブロックに同時に出現する。
- 各変種は正確にr 個のブロックに出現します。
フィッシャーの不等式は単純に
- b ≥ v。
証拠
接続行列M を、要素iがブロックjにある場合はM i,jが 1 になり、そうでない場合は0になるように定義されたv × b行列とします。すると、B = MM Tは、 i ≠ jに対してB i,i = rかつB i,j = λとなるv × v 行列になります。r ≠ λなので、det( B ) ≠ 0なので、rank( B ) = vです。一方、rank( B ) ≤ rank( M ) ≤ bなので、v ≤ bです。
一般化
フィッシャーの不等式は、より一般的なクラスの設計にも当てはまります。ペアワイズバランス設計(PBD) は、 X の空でない部分集合の族 (同じサイズである必要はなく、繰り返しを含む場合もあります) と X を組み合わせたもので、 Xの異なる要素のすべてのペアは、正確にλ (正の整数) 個の部分集合に含まれます。 X は部分集合の 1 つにすることができます。すべての部分集合がXのコピーである場合、PBD は「自明」と呼ばれます。 Xのサイズはvで、族内の部分集合の数 (重複度でカウント) はbです。
定理: 任意の非自明なPBDに対して、v ≤ b。[1]
この結果は、Erdős–De Bruijn の定理も一般化します。
λ = 1の PBD でサイズ 1 またはサイズvのブロックがない場合、v ≤ bが成り立ち、PBD が射影平面または近似鉛筆である場合（つまり、ちょうどn − 1 個の点が同一線上にある場合）に限り等式が成り立ちます。[2]
別の観点から見ると、レイ・チャウドゥリとウィルソンは1975年に2s-(v,k,λ)設計ではブロックの数が少なくともであることを証明した。[3]
注記
参考文献
- RC Bose、「バランス型不完全ブロック設計におけるフィッシャーの不等式に関する注記」、Annals of Mathematical Statistics、1949年、619〜620ページ。
- RA フィッシャー、「不完全なブロックの問題に対するさまざまな可能な解決策の検討」、優生学年報、第 10 巻、1940 年、52 ～ 75 ページ。
- スティンソン、ダグラス R. (2003)、コンビナトリアルデザイン：構築と分析、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-95487-2
- ストリート、アン・ペンフォールド;ストリート、デボラ・J. (1987)。実験計画の組合せ論。オックスフォード大学出版局 [クラレンドン] 。ISBN 0-19-853256-3。