ファイルのダイナミクス

ファイルダイナミクスという用語は、狭いチャネル内の多数の粒子の動きを指します。

科学において：化学、物理学、数学および関連分野において、ファイルダイナミクス（シングルファイルダイナミクスと呼ばれることもある）は、長さL（L → ∞）の準 1 次元チャネル内のN（N → ∞）個の同一のブラウン運動剛体球の拡散であり、球は互いに重なり合うことはなく、平均粒子密度はほぼ一定である。このプロセスの最も有名な統計的特性は、ファイル内の粒子の 平均二乗変位（MSD）が に従い、その確率密度関数（PDF）が分散 MSD を伴う位置でガウス分布になることである。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \mathrm {MSD} \approx t^{\frac {1}{2}}}$

基本ファイルを一般化するファイルの結果には次のものが含まれます。

• 密度法則が固定ではなく、原点からの距離とともに指数aのべき乗法則として減少するファイルでは、原点の粒子は、ガウスPDFで、のようにスケールするMSD を持ちます。^[4]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1+a}{2}}}$
• さらに、粒子の拡散係数が指数γ（原点の周り）のべき乗則のように分布している場合、MSDはガウスPDFに従います。^[5]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}}$
• 更新される異常なファイルでは、すなわち、すべての粒子が同時にジャンプを試みるが、指数−1−  αのべき乗則として減少する分布からとられたジャンプ時間では、MSDは対応する通常のファイルのMSDと同様にαのべき乗でスケーリングされます。^[6]
• 独立した粒子の異常な集合では、MSDは非常に遅く、 のようにスケールします。さらに興味深いことに、そのような集合では粒子がクラスターを形成し、動的相転移を定義します。これは異常性の累乗αに依存します。クラスター内の粒子の割合ξは に従います。[ ^7]${\displaystyle MSD\approx log^{2}(t)}$${\displaystyle \xi \approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$
• その他の一般化としては、粒子が遭遇時に一定の確率で互いを迂回できる場合、拡散が促進されることが挙げられます。^[8]粒子がチャネルと相互作用すると、拡散が遅くなることが観察されます。^[9] 2次元に埋め込まれたファイルは、1次元のファイルと同様の特性を示します。^[7]

基本ファイルの一般化は重要です。なぜなら、これらのモデルは基本ファイルよりもはるかに正確に現実を表現するからです。実際、ファイルダイナミクスは、数多くの微視的プロセスのモデリングに使用されています: ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]}生物学的および合成的な細孔および多孔質材料内の拡散、生物学的道路などの1Dオブジェクトに沿った拡散、ポリマー内のモノマーのダイナミクスなど。

単純なブラウン運動ファイルでは、ファイル内のすべての粒子の 結合確率密度関数(PDF) は、次の正規拡散方程式に従います。${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$

では、は時間における粒子の位置の集合であり、は初期時間（ゼロに設定）における粒子の初期位置の集合です。方程式（1）は、ファイルのハード球の性質を反映する適切な境界条件で解かれます。 ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle t_{0}}$

適切な初期条件では次のようになります。

単純なファイルでは、初期密度は固定されており、 は微視的長さを表すパラメータです。PDF の座標は、 という順序に従う必要があります。 ${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}}$

このようなファイルでは、運動方程式は次のようになります。

境界条件は次の通りです:

初期条件は式( 3 )であり、粒子の初期位置は次の式に従う。

ファイルの拡散係数はPDFとは独立して取得されます。

ここで、Λ はファイル内で最も速い拡散係数を表す有限値を持ちます。

更新異常ファイルでは、ランダム周期は、次の形式の待機時間確率密度関数 (WT-PDF。詳細については、連続時間マルコフ過程を参照) とは独立して取られます。ここで、kはパラメータです。次に、ファイル内のすべての粒子がこのランダム周期の間静止し、その後、すべての粒子がファイルのルールに従ってジャンプを試みます。この手順は何度も繰り返されます。更新異常ファイル内の粒子の PDF の運動方程式は、ブラウン運動ファイルの運動方程式をカーネルで畳み込むことで得られます。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

ここで、カーネルとWT-PDFはラプラス空間で関係付けられています。(関数のラプラス変換は、です。)式( 8 )に伴う反射境界条件は、ブラウンファイルの境界条件をカーネルで畳み込むことで得られます。ここで、およびブラウンファイルでは初期条件は同一です。 ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

異常ファイル内の各粒子に独自のジャンプ時間の描画形式が割り当てられている場合(はすべての粒子で同じ)、異常ファイルは更新ファイルではありません。このようなファイルの基本的な動的サイクルは、次の手順で構成されます。ファイル内でジャンプ時間が最速の粒子 (たとえば、粒子i )がジャンプを試みます。次に、他のすべての粒子の待機時間が調整されます。各待機時間から を減算します。最後に、粒子iの新しい待機時間が描画されます。更新異常ファイルと更新ではない異常ファイルの最も重要な違いは、各粒子が独自のクロックを持っている場合、粒子は実際には時間領域でも接続されており、結果としてシステムがさらに遅くなることです (本文で証明されています)。独立した粒子の異常ファイル内の PDF の運動方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

PDF の時間引数は、時間のベクトル、 、 であることに注意してください。すべての座標を追加し、最初に時間の速い順に積分を実行すると (順序は構成の空間内の一様分布からランダムに決定されます)、独立した粒子の異常なファイル内の完全な運動方程式が得られます (したがって、すべての構成での方程式の平均化がさらに必要になります)。実際、式 ( 9 ) でさえ非常に複雑であり、平均化によってさらに複雑になります。 ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}}$

式（ １）～（２ ）の解は、ガウス分布に現れるすべての初期座標の完全な順列である。^[4]

ここで、インデックスは初期座標のすべての順列に渡され、順列を含む。式（１０）から、ファイル内のタグ付けされた粒子のPDFが計算される^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})}$

式( 11 )において、、(はタグ付き粒子の初期条件)、およびである。タグ付き粒子のMSDは式( 11 )から直接得られる。 ${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$

式（ 4）-（7 ）の解は、次の式で近似される。^[5]

式（13）から出発して、異種ファイル内のタグ付けされた粒子のPDFは次のようになる。^[5]

異種ファイル内のタグ付けされた粒子のMSDは式（14）から得られる。

更新異常ファイルの結果は、ブラウンファイルの結果から単純に導き出される。まず、式( 8 )のPDFは、畳み込みのない方程式、つまりブラウンファイル方程式を解くPDFで表され、この関係はラプラス空間で作成される。

（添え字nrmlは通常のダイナミクスを表す。）式（16 ）から、ブラウン運動の異質ファイルと再生異常の異質ファイルのMSDを関連付けることは簡単である。 ^[6]

式（１８ ）から、のべき乗の正規ダイナミクスを持つファイルのMSDは、対応する更新異常ファイルのMSDであることがわかる。 ^[6]${\displaystyle \alpha }$

独立粒子を持つ異常粒子の運動方程式( 9 )は非常に複雑である。このような粒子の解は、スケーリング則を導出しながら数値シミュレーションによって得られる。

まず、一定の密度を持つ更新ファイルにおける平均絶対変位（ MAD ）のスケーリング則を記述する： ^{[4] [5] [7]}

ここで、は被覆長 内の粒子数、は自由異常粒子 のMADです。式( 20 )では、タグ付けされた粒子が初期位置から 距離に到達するためには、タグ付けされた粒子から 距離内にあるすべての粒子が同じ方向に移動する必要があるため、 が計算に入ります。式( 20 )に基づいて、独立した粒子の異常ファイルに対する一般化されたスケーリング則を記述します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$

式( 21 )の右辺の最初の項は更新ファイルにも現れるが、項f(n)は一意である。 f(n) は、n 個の異常な独立粒子を同じ方向に動かすために、これらの粒子が実際に同じ方向にジャンプしようとすると (項 ( ) で表される)、周辺の粒子が最初に移動して、ファイルの中央の粒子が移動するための自由空間を確保し、周辺の粒子のジャンプ時間を短縮する必要があるという事実を説明する確率です。異常なファイルでのジャンプの典型的なタイムスケールが存在せず、粒子が独立しているため、特定の粒子が非常に長い時間静止し、その間に周囲の粒子の進行オプションが大幅に制限されるため、f(n) が発生します。明らかに、、ここでf ( n ) = 1 です。これは、更新ファイルの場合、粒子が一緒にジャンプするためです。また、 の独立した粒子のファイルでも 、このようなファイルでは、同期ジャンプの時間と見なされるジャンプの典型的なタイムスケールがあるためです。粒子のジャンプ時間の順序によって動きが可能になる構成の数から f(n) を計算します。つまり、より速い粒子が常に周辺に向かって配置される順序です。 n 個の粒子に対して、n! 通りの異なる配置があり、そのうちの 1 つが最適な配置です。したがって、最適ではないものの、伝播は他の多くの配置でも可能です。移動する粒子の数を m とすると、 ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)}$${\displaystyle 0<f(n)<1}$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle (1/n!)\leq f(n)}$

ここで、は、タグ付き粒子の周りのm個の粒子が最適なジャンプ順序を持つ配置の数を数える。ここで、m~n/2の場合でも、 である。式（ 21）で（1より大きい小さな数）を 使用すると、${\displaystyle {\dbinom {n}{m}}(n-m)!}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$${\displaystyle n_{0}}$

（式（23）では、 を使用します。）式（23）は、漸近的に粒子が異常な独立粒子ファイル内で非常に遅いことを示しています。 ${\displaystyle MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}}$

数値的研究により、独立した粒子の異常な集団がクラスターを形成することが分かります。この現象は動的相転移を定義します。定常状態では、クラスター内の粒子の割合は、次のようになります。 ${\displaystyle \xi (\alpha )}$

図 1 では、501 個の粒子のファイルにある 9 個の粒子の軌道を示しています (ファイルを新しいウィンドウで開くことをお勧めします)。上のパネルは の軌道を示し、下のパネルは の軌道を示しています。 の各値について、シミュレーションの初期段階 (左) とシミュレーションのすべての段階 (右) の軌道を示しています。パネルは、軌道が互いに引き合い、その後ほぼ一緒に移動するクラスタリングの現象を示しています。 ${\displaystyle \alpha =0.9}$${\displaystyle \alpha =0.1}$${\displaystyle \alpha }$

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