F. リースの定理

F. リースの定理(フリジェシュ・リースにちなんで名付けられた) は関数解析における重要な定理であり、ハウス ドルフ位相ベクトル空間(TVS) が有限次元であるためには局所的にコンパクトでなければならないと述べています。この定理とその結果は関数解析において広く使用されており、明示的に言及されることなく使用されることも多いです。

位相ベクトル空間(TVS)がハウスドルフであるためには、原点のみからなる単一集合が の閉部分集合となる必要があることを思い出してください。2 つの TVS 間の写像は、線型同相写像である場合、TVS 同型写像またはTVS のカテゴリにおける同型写像 と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X.}$

全体を通して、有限次元ベクトル空間 を持つ TVS (必ずしもハウスドルフではない) です。${\displaystyle F,X,Y}$${\displaystyle F}$

• ハウスドルフTVSの有限次元ベクトル部分空間はすべて閉部分空間である。^[1]
• すべての有限次元ハウスドルフTVSはバナッハ空間であり、そのような空間上のすべてのノルムは同値である。^[1]
• 閉 + 有限次元は閉である: がTVSの閉ベクトル部分空間であり、が（必ずしもハウスドルフではない）の有限次元ベクトル部分空間である場合、は^[1]の閉ベクトル部分空間である。${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,M,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M+F}$${\displaystyle Y.}$
• 2つの有限次元ハウスドルフTVS間のすべてのベクトル空間同型（つまり線型 一対一）はTVS同型である。^[1]
• 位相の一意性： が有限次元ベクトル空間であり、と が上の2つのハウスドルフTVS位相である場合、 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}.}$
• 有限次元領域：ハウスドルフTVS間の線型写像 は必然的に連続である。^[1]${\displaystyle L:F\to Y}$
  • 特に、有限次元ハウスドルフ TVS のすべての線形関数は連続です。
• 有限次元範囲:ハウスドルフ有限次元範囲を持つ任意の連続射影 線型写像は 開写像^[1]であり、したがって位相準同型である。${\displaystyle L:X\to Y}$

特に、 の範囲はTVS同型であり、${\displaystyle L}$${\displaystyle X/L^{-1}(0).}$

• TVS (必ずしもハウスドルフではない) は、有限次元である場合にのみ局所的にコンパクトです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\overline {\{0\}}}}$
• 有限次元ハウスドルフTVSのコンパクト部分集合の凸包はコンパクトである。 [ 1 ^]
  • これは特に、コンパクト セットの凸包がそのセットの閉じた凸包に等しいことを意味します。
• ハイン・ボレル特性を持つハウスドルフ局所有界TVSは必然的に有限次元である。^[2]

• リースの補題

• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.