指数関数の二分法

動的システムの数学理論において、指数二分法は、双曲性の考え方を非自律システムに拡張した平衡点の特性です。

もし

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A(t)\mathbf {x} }$

がR ⁿ内の線形非自律力学システムで、基本解行列 Φ( t )、 Φ(0) = I を持つ場合、平衡点0 は指数二分法を持つと言われ、 P ² = Pとなる（定数）行列Pと、正の定数K、L、 α 、および β が存在し、

${\displaystyle ||\Phi (t)P\Phi ^{-1}(s)||\leq Ke^{-\alpha (ts)}{\mbox{ }}s\leq t<\infty } に対して$

そして

${\displaystyle ||\Phi (t)(IP)\Phi ^{-1}(s)||\leq Le^{-\beta (st)}{\mbox{ }}s\geq t>-\infty の場合 .}$

さらに、L = 1/ Kかつ β = α の場合、0 は一様指数二分法を持つと言われます。

定数αとβにより、平衡点の スペクトルウィンドウ（−α、β）を定義することができます。

行列Pは安定部分空間への射影であり、I  −  Pは不安定部分空間への射影です。指数二分法が意味するのは、システム内の任意の軌道の安定部分空間への射影のノルムはt → ∞で指数的に減少し 、任意の軌道の不安定部分空間への射影のノルムはt  → −∞ で指数的に減少し、さらに、安定部分空間と不安定部分空間は共役であるということです ( のため)。 ${\displaystyle \scriptstyle P\oplus (IP)=\mathbb {R} ^{n}}$

指数二分法を持つ平衡点は、自律システムにおける双曲型平衡点の多くの特性を持ちます。実際、双曲型点には指数二分法があることが示されています。

• コッペル、WA安定性理論における二分法、Springer-Verlag (1978)、ISBN  978-3-540-08536-2 doi :10.1007/BFb0067780