承認ルールの拡大

拡大承認ルール（EAR ）は、複数当選者選挙のルールであり、エージェントが弱い順序選好（つまり、無差別順位）を表明することを可能にし、強固な連合に対して比例代表制と呼ばれる比例代表制の一形態を保証します。EARファミリーは、アジズとリーによって提唱されました。^{[1] [2]}

一般的に、EAR アルゴリズムは次のように機能します。n は投票者数、k は埋めるべき議席数を表します。最初に、各投票者に 1 単位の仮想マネーが与えられます。投票者のグループは仮想マネーを使用して候補者を「購入」できます。各候補者の「価格」は(ただし、除数は若干異なる場合があります。最高平均法を参照してください)。EAR は、投票者のトップ候補者に対応するランク 1 から始まり、反復ごとにランクが上がります。(これが「承認の拡大」という用語の由来です。ランクが上がると、承認される候補者の数が増えます。) 各ランクrについて: ${\displaystyle n/k}$

1. EAR は、この候補者をr位以上にランク付けするすべての有権者が購入できる候補者がいるかどうかを確認します。そのような候補者がいる場合、EAR はそのような候補者の 1 人c (この候補者の選択方法についてはさまざまなバリエーションがあります) を選択し、cを委員会に追加します。
2. n / kの「価格」は、 cr位以上の投票者の残高から差し引かれます(価格が投票者間でどのように分割されるかに関しては、さまざまなバリエーションがあります)。

AzizとLee ^[1]は、EARが一般化された固い連合の比例性（GPSC）を満たすことを証明しています。これは、固い連合の比例性（厳密な選好の場合）と比例正当化表現（二分選好の場合）の両方を一般化する順序弱選好の特性です。さらに、EARは多項式時間で計算でき、いくつかの弱候補単調性特性を満たしています。

アジズとリー^[2]はEARを組み合わせ参加型予算編成の設定に拡張した。

均等割方式（MES）はEARの特殊なケースと見なすことができ、ステップ1では、最も低い価格で購入できる候補者が選出され（一般的には、残りの資金を持つ有権者の最大数の支持者）、ステップ2では、価格が可能な限り均等に差し引かれます（予算が不十分な人は残りの予算をすべて支払い、他の人は均等に支払います）。^[3]

単記移譲式投票（STV）もEARの変形とみなすことができ、投票者は常に最有力候補（r =1）のみを承認するが、投票者が1位にランク付けして「購入」できる候補者がいない場合は、支持者の残票数が最も少ない候補者が排除される（これにより、新しい候補者がこれらの投票者のトップになる）。EARと同様に、STVは強固な連合の比例性を満たす。しかし、EARは弱いランキングを許容するのに対し、STVは厳密なランキングでのみ機能する。さらに、EARは候補者の単調性特性に優れている。これは、STVと同じ政治的特性を持ち、より単調なルールがあるかどうかを問うWoodall [4]による未解決の問題に対処し^た。