封筒定理

数学と経済学において、エンベロープ定理は、パラメータ化された最適化問題の価値関数の微分可能性に関する主要な結果です。 ^[1]目的関数のパラメータを変更すると、エンベロープ定理は、ある意味では、目的関数の最適化子の変更が目的関数の変更に寄与しないことを示しています。エンベロープ定理は、最適化モデルの比較静学の重要なツールです。 ^[2]

エンベロープという用語は、値関数のグラフを、最適化されたパラメータ化された関数のファミリのグラフの「上部エンベロープ」として記述することに由来します 。 ${\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}$

およびを 上の連続的に微分可能な実数値関数とします。ここで は選択変数、 はパラメータであり、 が与えられたとき にを選択する問題を考えてみます。${\displaystyle f(x,\alpha )}$${\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{l}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \max_{x}f(x,\alpha )}$および の対象となります。${\displaystyle g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m}$${\displaystyle x\geq 0}$

この問題のラグランジアン表現は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )}$

ここで、はラグランジュ乗数です。ここで、 とを合わせて、制約条件の下で目的関数fを最大化する解とします（したがって、 はラグランジュの 鞍点です）。${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x^{\ast }(\alpha )}$${\displaystyle \lambda ^{\ast }(\alpha )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),}$

価値関数を定義する

${\displaystyle V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).}$

すると次の定理が成り立つ。^{[3] [4]}

定理: とが連続的に微分可能であると仮定する。すると${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l}$

どこ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}}$。

選択セットを 、関連するパラメータを とします。をパラメータ化された目的関数とすると、価値関数と最適な選択対応（セット値関数）は次のように与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle f:X\times \lbrack 0,1]\rightarrow R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X^{\ast}}$

「エンベロープ定理」は、値関数がパラメータで微分可能であるための十分な条件を記述し、その導関数を次のように記述する。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$

ここで、 はの に関する偏微分を表します。つまり、パラメータ に関する価値関数の微分は、最大化器を最適レベルに固定したまま に関する目的関数の偏微分に等しくなります。 ${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

従来のエンベロープ定理の導出では、( 1 )の一次条件が使用され、選択セットが凸および位相構造を持ち、目的関数が変数 で微分可能であることが要求されます。(最大化子の変化は最適値で「二次効果」しか持たないため、無視できるという議論があります。) しかし、契約理論やゲーム理論におけるインセンティブ制約の分析、非凸生産問題、および「単調」または「ロバスト」な比較静力学などの多くのアプリケーションでは、選択セットと目的関数は一般に、従来のエンベロープ定理で必要な位相的および凸性特性を欠いています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

ポール・ミルグロムとシーガル（2002）は、目的関数がパラメータで微分可能である限り、従来のエンベロープ式は価値関数の任意の微分可能点における任意の選択集合を持つ最適化問題に対して成り立つことを指摘している^[5]。

定理1:ととする。と が両方存在する場合、包絡線公式( 3 )が成立する。 ${\displaystyle t\in \left(0,1\right)}$${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle V^{\prime }\left(t\right)}$${\displaystyle f_{t}\left(x,t\right)}$

証明：式（１）は、に対して、 ${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$

${\displaystyle \max _{s\in \left[0,1\right]}\left[f\left(x,s\right)-V\left(s\right)\right]=f\left(x,t\right)-V\left(t\right)=0.}$

仮定の下では、示された最大化問題の目的関数は で微分可能であり、この最大化の1次条件はまさに式( 3 )である。QED ${\displaystyle s=t}$

一般に価値関数の微分可能性は強い仮定を必要とするが、多くの応用では絶対連続性、ほぼすべての場所での微分可能性、左微分可能性と右微分可能性などの弱い条件で十分である。特に、Milgrom と Segal (2002) の定理 2 は が絶対連続であるための十分条件を提供している。^[5]これはほぼすべての場所で微分可能であり、その導関数の積分として表すことができることを意味する。 ${\displaystyle V}$

定理 2:がすべての に対して絶対連続であると仮定します。また、すべてのおよびほぼすべてのに対してとなる積分可能な関数が存在すると仮定します。すると は絶対連続です。さらに、 がすべての に対して微分可能であり、上のほぼすべての場所でとなると仮定します。すると任意の選択 に対して、 ${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b:[0,1]}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle |f_{t}(x,t)|\leq b(t)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X^{\ast }(t)\neq \varnothing }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}$

証明: ( 1 )(1) を用いて、任意のに対して、 ${\displaystyle t^{\prime },t^{\prime \prime }\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle t^{\prime }<t^{\prime \prime }}$

${\displaystyle |V(t^{\prime \prime })-V(t^{\prime })|\leq \sup _{x\in X}|f(x,t^{\prime \prime })-f(x,t^{\prime })|=\sup _{x\in X}\left\vert \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}f_{t}(x,t)dt\right\vert \leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}\sup _{x\in X}|f_{t}(x,t)|dt\leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}b(t)dt.}$

これは絶対連続であることを意味する。したがって、はほぼどこでも微分可能であり、( 3 )を使用すると( 4 )が得られる。QED ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

この結果は、価値関数の良好な動作は、それに応じて最大化関数の良好な動作を必要とするという一般的な誤解を払拭する。定理 2 は、最大化関数が不連続であっても、価値関数の絶対連続性を保証する。同様に、Milgrom と Segal (2002) の定理3は、族がで等微分可能であり、 で単値かつ連続である場合、価値関数は で微分可能でなければならず、したがって、最大化関数が で微分可能でなくても(たとえば、が不等式制約のセットによって記述され、 で束縛制約のセットが変化する場合は)、包絡線公式 ( 3 ) を満たすことを意味している。^[5]${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}$${\displaystyle t_{0}\in \left(0,1\right)}$${\displaystyle f_{t}\left(X^{\ast }\left(t\right),t_{0}\right)}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t_{0}}$

定理1は、利潤関数の任意の微分可能点におけるホテリングの補題を意味し、定理2は生産者余剰の公式を意味する。正式には、価格 に直面している生産セットを持つ価格受容企業の間接利潤関数を で表し、企業の供給関数を で表すと、 ${\displaystyle \pi \left(p\right)}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle x^{\ast }\left(p\right)}$

${\displaystyle \pi (p)=\max _{x\in X}p\cdot x=p\cdot x^{\ast }\left(p\right){\text{.}}}$

(財 の価格)とし、他の財の価格を に固定します。定理1を に適用すると、(企業の財 の最適供給) が得られます。定理2 (が有界区間に制限されている 場合にその仮定が検証されます) を適用すると、次のようになります。${\displaystyle t=p_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{-i}\in \mathbb {R} ^{L-1}}$${\displaystyle f(x,t)=tx_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}}$${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p)}{\partial p_{i}}}=x_{i}^{\ast }(p)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})=\int _{0}^{p_{i}}x_{i}^{\ast }(s,p_{-i})ds,}$

つまり、生産者余剰は、企業の財の供給曲線の下で積分することによって得ることができます。 ${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})}$${\displaystyle i}$

結果に対する効用関数がタイプ に依存するエージェントについて考えてみましょう。は、エージェントがメカニズム内でさまざまなメッセージを送信することで得られる可能性のある結果の「メニュー」を表します。 メカニズム内のエージェントの均衡効用は(1) で与えられ、メカニズムの均衡結果の集合は(2) で与えられます。 選択はすべて、メカニズムによって実装される選択ルールです。 エージェントの効用関数は、すべての に対してで微分可能かつ絶対連続であり、 で積分可能であると仮定します。 このとき、定理 2 は、特定の選択ルールを実装する任意のメカニズム内のエージェントの均衡効用は、積分条件 (4) を満たさなければならないことを意味します。 ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x\in {\bar {X}}}$${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$${\displaystyle V(t)}$${\displaystyle X^{\ast }(t)}$${\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}$${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x\in Y}$${\displaystyle \sup _{x\in {\bar {X}}}|f_{t}(x,t)|}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x^{\ast }}$

積分条件(4)は、連続型空間のメカニズム設計問題の分析における重要なステップである。特に、Myerson(1981)の単品オークションの分析では、1人の入札者の観点からの結果は と記述できる。ここで は入札者がオブジェクトを受け取る確率、 は入札者の期待支払額であり、入札者の期待効用は の形をとる。この場合、 を入札者の最低のタイプとすると、入札者の均衡期待効用に関する積分条件(4)は の形をとる。 ${\displaystyle x=\left(y,z\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f\left(\left(y,z\right),t\right)=ty-z}$${\displaystyle {\underline {t}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(t)-V({\underline {t}})=\int _{0}^{t}y^{\ast }(s)ds.}$

（この式は、オークションによって定義される生産技術を持ち、オークションで獲得した商品を固定価格で再販する企業の生産者余剰の式として解釈できる）。この条件は、Myerson（1981）の有名な収益等価定理を生み出す。入札者が独立した私的価値を持つオークションで生み出される期待収益は、入札者がすべてのタイプの商品を獲得する確率と、入札者の最低タイプの期待利得によって完全に決定される。最後に、この条件はMyerson（1981）の最適オークションの重要なステップである。^[6]${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V({\underline {t}})}$

エンベロープ定理のメカニズム設計へのその他の応用については、Mirrlees (1971)、^[7] Holmstrom (1979)、^[8] Laffont and Maskin (1980)、^[9] Riley and Samuelson (1981)、^[10] Fudenberg and Tirole (1991)、^[11]および Williams (1999) を参照してください。^[12]これらの著者は、（区分的に）連続的に微分可能な選択規則またはさらに狭いクラスに注意を限定することでエンベロープ定理を導き、活用しましたが、区分的に連続的に微分可能ではない選択規則を実装することが最適な場合もあります。 （一例として、Myerson (1991) の第 6.5 章で説明されている線形効用を伴う取引問題のクラスが挙げられます。^[13]）積分条件 (3) はこの設定でも成立し、Holmstrom の補題 (Holmstrom, 1979)、^[8] Myerson の補題 (Myerson, 1981)、^[6]収益等価定理 (オークションの場合)、Green–Laffont–Holmstrom 定理 (Green and Laffont, 1979; Holmstrom, 1979)、^{[14] [8]} Myerson–Satterthwaite 非効率性定理 (Myerson and Satterthwaite, 1983)、^[15] Jehiel–Moldovanu 不可能定理 (Jehiel and Moldovanu, 2001)、^[16] McAfee–McMillan不可能性定理などの重要な結果を意味していることに留意してください。弱いカルテル定理（マカフィーとマクミラン、1992）^[17]やウェーバーのマルチンゲール定理（ウェーバー、1983）^[18]など。これらの応用の詳細は、ミルグロム（2004）^[19]の第3章に記載されており、ミルグロムは、主にエンベロープ定理と需要理論の他のよく知られた技術や概念に基づいて、オークションとメカニズム設計の分析におけるエレガントで統一的なフレームワークを提供している。

多次元パラメータ空間 の場合、定理 1 は価値関数の偏微分と方向微分に適用できます。^{[引用が必要]}目的関数と価値関数の両方が で（完全に）微分可能である場合、^定理1 は、各 に対して^、勾配のエンベロープ式を意味します。価値関数の完全な微分可能性を保証するのは簡単ではないかもしれませんが、それでも定理 2 は、2 つのパラメータ値と を接続する任意の滑らかなパスに沿って適用できます。^{[引用が必要]}つまり、すべての に対して、すべての に対して関数が微分可能であるとします。からへの滑らかなパスは、および となるような、有界導関数を持つ微分可能なマッピングによって記述されます。^{[引用が必要]}定理 2 は、そのような滑らかなパスに対して、価値関数の変化が、パスに沿った目的関数の部分勾配のパス積分として表されることを意味します。 ^{[引用が必要]}${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{K}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla V\left(t\right)=\nabla _{t}f\left(x,t\right)}$${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |\nabla _{t}f(x,t)|\leq B}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow T}$${\displaystyle \gamma \left(0\right)=t_{0}}$${\displaystyle \gamma \left(1\right)=t}$${\displaystyle \nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)}$

${\displaystyle V(t)-V(t_{0})=\int _{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds.}$

特に、 については、任意の滑らかな経路に沿った巡回経路積分は必ずゼロになるということが証明される: ^[要出典]${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int \nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds=0.}$

この「積分可能性条件」は、多次元型のメカニズム設計において重要な役割を果たし、メカニズム誘導メニューによってどのような選択ルールが維持されるかを制約する。^[要出典]生産者理論への応用では、 は企業の生産ベクトル、 は価格ベクトルであり、積分可能性条件は、合理化可能な供給関数は必ず次の式を満たす必要がある ことを意味している。${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{L}}$${\displaystyle f\left(x,t\right)=t\cdot x}$${\displaystyle x^{\ast }}$

${\displaystyle \int x^{\ast }(s)\cdot ds=0.}$

が連続的に微分可能である場合、この積分可能性条件は代替行列の対称性と同等です。(消費者理論では、同じ議論を支出最小化問題に適用すると、スラツキー行列の対称性が得られます。) ${\displaystyle x^{\ast }}$ ${\displaystyle \left(\partial x_{i}^{\ast }\left(t\right)/\partial t_{j}\right)_{i,j=1}^{L}}$

ここで、実行可能集合がパラメータに依存すると仮定します。つまり、 ${\displaystyle X\left(t\right)}$

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X\left(t\right)}f(x,t)}$

${\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X\left(t\right):f(x,t)=V(t)\}{\text{, }}}$

一部の人にとって${\displaystyle X\left(t\right)=\left\{x\in X:g\left(x,t\right)\geq 0\right\}}$${\displaystyle g:X\times \left[0,1\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{K}.}$

が凸集合で、において凹であり、すべての に対してとなるようなが存在すると仮定する。これらの仮定の下では、上記の制約付き最適化プログラムは、ラグランジアン に対する鞍点問題として表現できることはよく知られている。ここで、 は、ラグランジアン を最小化するために敵対者が選択したラグランジュ乗数のベクトルである。 ^{[20] [ページ必要] [21]}これにより、 がノルム線形空間内のコンパクト集合であり、 において連続であり、 とがにおいて連続であるという追加の仮定の下で、ミルグロムとシーガル (2002、定理 4) の包絡線定理を鞍点問題に適用できる。 ^[5]特に、 をパラメータ値 に対するラグランジアンの鞍点とすると、定理はが絶対連続であり、 を満たすこと を意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$${\displaystyle g\left({\hat {x}},t\right)>0}$${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle L\left(x,\lambda ,t\right)=f(x,t)+\lambda \cdot g\left(x,t\right)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}^{K}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle \left(x,t\right)}$${\displaystyle \left(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right)\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}L_{t}(x^{\ast }(s),\lambda ^{\ast }\left(s\right),s)ds.}$

が、、およびに依存しない特殊なケースでは、式はaeに対してであることを意味します。つまり、制約上のラグランジュ乗数は、最適化プログラムにおけるその「影の価格」です。 ^[21]${\displaystyle f\left(x,t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K=1}$${\displaystyle g\left(x,t\right)=h\left(x\right)+t}$${\displaystyle V^{\prime }(t)=L_{t}(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right),t)=\lambda ^{\ast }\left(t\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda ^{\ast }\left(t\right)}$

ミルグロムとシーガル（2002）は、包絡線定理の一般化バージョンが凸計画問題、連続最適化問題、鞍点問題、最適停止問題にも適用できることを実証した。^[5]