楕円の割り切れる数列

数学において、楕円除算列( EDS ) は、楕円曲線上の除算多項式から生じる非線形再帰関係を満たす整数の列です。EDS は、1940 年代にMorgan Ward ^[1]によって初めて定義され、その算術特性が研究されました 。2000 年頃まで、EDS は散発的にしか注目されていませんでしたが、その頃から、EDS は、ほとんどの列よりも解析しやすい非線形再帰のクラスとして取り上げられるようになりました。この扱いやすさは、主に EDS と楕円曲線との密接な関係によるものです。EDS は、数論内で本質的に興味深いだけでなく、論理学や暗号学を含む数学の他の分野にも応用されています。

（非退化）楕円割り切れ列（EDS）は、 4つの初期値 W ₁、W ₂、W ₃、W ₄によって再帰的に定義される整数列（W _n）_{n ≥ 1であり、} W ₁ W ₂ W ₃ ≠ 0であり、後続の値は式によって決定される。

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{2n+1}W_{1}^{3}&=W_{n+2}W_{n}^{3}-W_{n+1}^{3} W_{n-1},\qquad n\geq 2、\\W_{2n}W_{2}W_{1}^{2}&=W_{n+2}W_{n}W_{n-1}^{2}-W_{n}W_{n -2}W_{n+1}^{2},\qquad n\geq 3,\\\end{aligned}}}$

W _{1 が}W ₂、W ₃、W ₄のそれぞれを割り切り、さらにW _{2 が}W _{4 を}割り切る場合、数列内の すべての項W _{n は}整数であることが示されます。

EDSは、次のような意味での 割り切れる数列である。

${\displaystyle m\mid n\Longrightarrow W_{m}\mid W_{n}.}$

特に、EDS のすべての項はW ₁で割り切れるため、EDS は、すべての項を最初の項で割って W ₁ = 1になるように正規化されることがよくあります。

任意の3つの整数b、 c、 d （dはbで割り切れる ） は 、設定時に正規化されたEDSとなる。

${\displaystyle W_{1}=1,\quad W_{2}=b,\quad W_{3}=c,\quad W_{4}=d.}$

条件 b | d が、シーケンス内のすべての項が整数であることを保証するのに十分であることは明らかではありませんが、証明できます。

楕円分割列の基本的な性質は、一般再帰関係を満たすことである。

${\displaystyle W_{n+m}W_{nm}W_{r}^{2}=W_{n+r}W_{nr}W_{m}^{2}-W_{m+r}W_{mr}W_{n}^{2}\quad {\text{すべて}}\quad n>m>r に対して。}$

(この式は、 r = 1 およびW ₁ = 1 の場合によく適用されます。)

正規化されたEDSの 判別式は量である

${\displaystyle \デルタ=W_{4}W_{2}^{15}-W_{3}^{3}W_{2}^{12}+3W_{4}^{2}W_{2}^{10}-20W_{ 4}W_{3}^{3}W_{2}^{7 }+3W_{4}^{3}W_{2}^{5}+16W_{3}^{6}W_{2}^{4}+8W_{4}^{2}W_{3}^{ 3}W_{2}^{2}+W_{4}^{4}.}$

EDS は、判別式がゼロでない場合、 非特異です。

EDS の簡単な例としては、自然数列 1、2、3、... が挙げられます。もう 1 つの興味深い例は、( OEISのシーケンスA006709 ) 1、3、8、21、55、144、377、987、... です。これは、2 番目の項から始まるフィボナッチ数列の 1 つおきの項で構成されています。ただし、これらのシーケンスは両方とも線形回帰を満たしており、両方とも特異 EDS です。特異でない EDS の例は、( OEISのシーケンスA006769 ) です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,1,\,-1,\,1,\,2,\,-1,\,-3,\,-5,\,7,\,-4,\,-23,\,29,\,59,\,129,\\&-314,\,-65,\,1529,\,-3689,\,-8209,\,-16264,\dots .\\\end{aligned}}}$

数列( A _n ) _{n ≥ 1}が周期的であるとは、任意のn ≥ 1に対してA _n+N = A _nとなるような 数N ≥ 1_が存在する場合である。非退化 EDS ( W _n ) _{n ≥ 1 が周期的である場合、その項の 1 つは消える。W} r = 0 となる 最小のr ≥ 1 は、 EDS の出現ランクと呼ばれる。Mazur の深い定理^[2] によれば、EDS の出現ランクが有限である場合、r ≤ 10 またはr = 12 を満たす。

ウォードは、任意の非特異EDS ( W _n )には楕円曲線E / Qと点 P ε E ( Q )が付随し、

${\displaystyle W_{n}=\psi _{n}(P)\qquad {\text{すべて}}~n\geq 1.}$

ここで ψ _{n は}E のn 次多項式であり 、 ψ _nの根はE上のn次の非ゼロ点である。 E とP については、W ₁、W ₂、W ₃、W ₄に関して複雑な式^[3]がある。

EDSの別の定義として、楕円曲線を直接使用し、符号を除いてEDS再帰をほぼ満たすシーケンスを生成するものがある。この定義は、ワイエルシュトラス方程式で与えられる楕円曲線E / Qと非ねじれ点P ε E ( Q )から始まる。Pの倍数のx座標は次のように書く。

${\displaystyle x(nP)={\frac {A_{n}}{D_{n}^{2}}}\quad {\text{with}}~\gcd(A_{n},D_{n})=1~{\text{and}}~D_{n}\geq 1.}$

そして、数列 ( D _n ) は楕円整列とも呼ばれます。これは整列数列であり、部分数列 ( ± D _nk ) _{n ≥ 1} (適切な符号を選択​​) が前述の意味での EDS となる ような整数kが存在します。

( W _n ) _{n ≥ 1}を非周期的な非特異な EDS とする。このとき、この数列は、正の定数hが存在するという 意味で、2 次指数関数的に増加する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log |W_{n}|}{n^{2}}}=h>0.}$

数値h は、EDS に関連付けられた楕円曲線上の点の 標準的な高さです。

特異でない EDS には、有限個の素数しか含まれないと推測されます^[4] しかし、特異でない EDS の有限個以外の項はすべて、原始素因数を許容します^[5] 。したがって 、有限個以外のすべてのnに対して、 p がW _{n を}割り切る素数pが存在しますが、すべてのm < nに対してp はW _{m を}割り切れません。このステートメントは、 Zsigmondy の定理に類似しています。

有限体F _q上、またはより一般的には任意の体上の EDS は、EDS 再帰を満たす体の元の列です。有限体上の EDS は常に周期的であり、出現階数はrです。したがって、 F _q上の EDS の周期はrtの形を持ち、rとt は次式を満たします 。

${\displaystyle r\leq \left({\sqrt {q}}+1\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad t\mid q-1.}$

より正確には、 F _q ^*には要素AとBがあり、

${\displaystyle W_{ri+j}=W_{j}\cdot A^{ij}\cdot B^{j^{2}}\quad {\text{すべて}}~i\geq 0~{\text{かつすべて}}~j\geq 1.}$

AとBの値は、関連付けられた楕円曲線上の点の Tate ペアリングに関連しています 。

ビョルン・プーネン^[6]は EDSを論理に応用した。彼はランク1の楕円曲線上のEDSにおける原始因子の存在を利用して、特定の整数環上のヒルベルトの第10問題の決定不可能性を証明した。

キャサリン・E・スタンジ^[7]は 、EDSと楕円ネットと呼ばれるその高階一般化を暗号に応用した。彼女は、EDSを使用して有限体上の楕円曲線上のワイルペアリングとテイトペアリングの値を計算する方法を示した。これらのペアリングは、ペアリングベースの暗号に数多くの用途がある。

• G. Everest、A. van der Poorten、I. Shparlinski、および T. Ward。Recurrence columns 、 Mathematical Surveys and Monographsの第 104 巻。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2003 年。ISBN 0-8218-3387-1  。 (第 10 章は EDS にあります。)
• R. Shipsey. 楕円分割数列 Archived 2011-06-09 at the Wayback Machine . 博士論文、ゴールドスミス カレッジ (ロンドン大学)、2000 年。
• K. Stange.楕円ネット。博士論文、ブラウン大学、2008 年。
• C. スワート。楕円曲線に関連するシーケンス。博士論文、ロイヤル ホロウェイ (ロンドン大学)、2003 年。

• グラハム・エベレストの EDS ウェブページ。2009 年 4 月 11 日にWayback Machineにアーカイブされました。
• 楕円割り切れる数列の素値。
• 楕円分割数列の p 進特性に関する講義。