基本効果法

1991年にマックス・モリス^[1]によって発表された基本効果（EE）法^[2]は、感度分析で 最もよく使用される^{[3] [4] [5] [6]}スクリーニング法の1つです。

EE は、計算コストのかかる数学モデルや、分散ベースの尺度などの他の感度分析尺度の推定コストが許容できない多数の入力を持つモデルで、影響のない入力を識別するために適用されます。すべてのスクリーニングと同様に、EE メソッドは定性的な感度分析尺度、つまり影響のない入力を識別したり、入力要素を重要度順にランク付けしたりできる尺度を提供しますが、入力の相対的な重要度を正確に定量化することはできません。

EE 法を例証するために、入力要素を持つ数学モデルを考えてみましょう。を対象の出力 (簡単にするためにスカラー) とします。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},X_{2},...X_{k}).}$

モリスのオリジナルのEE法^[2]では、各入力因子に対して2つの感度尺度が提供されています。

• 入力要因がモデル出力に与える全体的な重要性を評価する尺度。${\displaystyle \mu}$
• 非線形効果と相互作用を説明する尺度。${\displaystyle \sigma}$

これら 2 つの尺度は、入力空間における一連の軌跡の構築に基づく設計を通じて得られます。この設計では、入力が 1 つずつランダムに移動されます (OAT)。この設計では、各モデル入力は、入力因子の空間で選択されたレベルにわたって変化すると想定されます。したがって、実験領域は次元レベルのグリッドです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$

各軌跡はポイントで構成されます。これは、入力要素がステップごとに 1 つずつ移動し、他の要素はすべて固定されたままであるためです 。${\displaystyle (k+1)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{0,1/(p-1),2/(p-1),...,1\}}$

各軌道に沿って、各入力要因の いわゆる基本効果は次のように定義されます。

${\displaystyle d_{i}(X)={\frac {Y(X_{1},\ldots ,X_{i-1},X_{i}+\Delta ,X_{i+1},\ldots ,X_{k})-Y(\mathbf {X} )}{\Delta }}}$、

ここで、変換された点が各インデックスに対して依然として にあるように選択された値は${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},...X_{k})}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle i=1,\ldots ,k.}$

${\displaystyle r}$基本効果は、ランダムにポイントをサンプリングすることによって各入力に対して推定されます。 ${\displaystyle d_{i}\left(X^{(1)}\right),d_{i}\left(X^{(2)}\right),\ldots ,d_{i}\left(X^{(r)}\right)}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle X^{(1)},X^{(2)},\ldots ,X^{(r)}}$

通常は4 ～ 10 ですが、入力因子の数、モデルの計算コスト、およびレベル数の選択によって異なります。探索するレベル数が多いと、探索サンプルを取得するために、多数の軌跡によってバランスを取る必要があるためです。パラメータ およびをと偶数で に等しく選択すると便利であることが実証されています。これにより、入力空間でのサンプリングの確率が等しくなります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle p/[2(p-1)]}$

入力要素が均一に分布していない場合、ベストプラクティスは、分位点の空間でサンプリングし、逆累積分布関数を使用して入力値を取得することです。この場合、 は分位点の空間で入力が取るステップに等しいことに注意してください。 ${\displaystyle \Delta }$

2 つの尺度と は、各入力の基本効果の分布の平均と標準偏差として定義されます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \mu_{i}={\frac{1}{r}}\sum_{j=1}^{r}d_{i}\left(X^{(j)}\right)}$、

${\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {{\frac {1}{(r-1)}}\sum _{j=1}^{r}\left(d_{i}\left(X^{(j)}\right)-\mu _{i}\right)^{2}}}}$。

入力要因を重要度順にランク付けし、出力の変動に影響を与えない入力を識別するには、これら 2 つの指標を一緒に読み取る必要があります (たとえば、2 次元グラフで)。両方の値が低い場合は、影響のない入力に相当します。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

この方法の改良版はCampolongoら^[7]によって開発され、入力因子の信頼性の高い順位付けを提供するのに十分な改訂された尺度を提案した。改訂された尺度は、入力因子の基本効果の絶対値の分布の平均である。${\displaystyle \mu^{*}}$

${\displaystyle \mu_{i}^{*}={\frac{1}{r}}\sum_{j=1}^{r}\left|d_{i}\left(X^{(j)}\right)\right|}$。

を使用すると、モデルが非単調である場合に発生し、互いに打ち消し合う可能性のある反対の符号の影響の問題が解決され、 の値が低くなります。 ${\displaystyle \mu^{*}}$${\displaystyle \mu}$

EE 法で使用される軌道を構築するための効率的な技術的スキームは Morris によるオリジナルの論文で提示されており、入力空間をより適切に探索することを目的とした改善戦略は Campolongo らによって提案されています。