アーク弾性

数学と経済学において、弧弾性とは、2 つの特定の点の間での 1 つの変数の別の変数に対する弾性のことです。これは、2 つの点の間での 1 つの変数のパーセンテージ変化と、もう 1 つの変数のパーセンテージ変化の比率です。これは、 2 つの点間の距離が 0 に近づくときの弧弾性の限界である点弾性とは対照的であり、したがって、1 組の点ではなく 1 つの点で定義されます。

点弾性と同様に、弧弾性も開始点に応じて値が変化する可能性があります。たとえば、製品の価格に対する供給の弧弾性は、開始価格と終了価格の両方が低い場合は大きくなりますが、両方が高い場合は小さくなる可能性があります。20%/10%=2

xのy円弧弾性は次のように定義されます。

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\%{\mbox{ }}x の変化}{\%{\mbox{ }}y の変化}}}$

ここで、ポイント 1 からポイント 2 への パーセンテージの変化は、通常、中間点を基準として計算されます。

${\displaystyle \%{\mbox{ }}x の変化={\frac {x_{2}-x_{1}}{(x_{2}+x_{1})/2}};}$

${\displaystyle \%{\mbox{ の変更点 }}y={\frac {y_{2}-y_{1}}{(y_{2}+y_{1})/2}}.}$

RGDアレンは、需要または供給される財の量xと価格yが等しい場合に、中点弧弾性公式（他のほとんどの文脈ではパーセンテージを計算するために初期点（ x ₁、y ₁ ）として使用されるのに対し、中点弧弾性公式では中点が変化のベースとして使用される）の使用を提唱した。その理由は、(1) 2つの価格と量に関して対称的であること、(2) 測定単位に依存しないこと、(3) 2つのポイントでの総収入（価格×量）が等しい場合は値が1になることである。^[1]

弧弾性は、2 つの変数の関係に一般的な関数がないが、関係上の 2 つの点がわかっている場合に使用されます。対照的に、点弾性の計算には関数関係の詳細な知識が必要であり、関数が定義されている場所であればどこでも計算できます。

比較のために、xのy点弾性は次のように表される。

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\partial x}{\partial y}}\cdot {\frac {y}{x}}={\frac {\partial \ln x}{\partial \ln y}}}$

価格Pに対する需要量（または供給量）Qの弧弾性度は、需要（または供給）の弧価格弾性度としても知られ、次のように計算される^[2]。

${\displaystyle (\%{\mbox{ }}Q の変化)/(\%{\mbox{ }}P の変化)}$

需要曲線上の2つの点、およびが既知であると仮定します。（需要曲線について他のことは何もわかっていない可能性があります。）すると、弧の弾性は次の式で得られます。${\displaystyle (Q_{1},P_{1})}$${\displaystyle (Q_{2},P_{2})}$

${\displaystyle E_{p}={\frac {\frac {Q_{2}-Q_{1}}{(Q_{1}+Q_{2})/2}}{\frac {P_{2}-P_{1}}{(P_{1}+P_{2})/2}}}.}$

フットボールの試合のハーフタイムに需要されるホットドッグの数量を、2 つの異なる価格が設定されている 2 つの異なる試合で測定するとします。1 回目の測定では需要量は 80 個で、もう 1 回目の測定では需要量は 120 個です。平均に対するパーセント変化は、(120-80)/((120+80)/2))=40% になります。測定を逆の順序 (最初に 120 個、次に 80 個) で行った場合、パーセント変化の絶対値は同じになります。

対照的に、需要量のパーセンテージ変化を初期値に対して測定した場合、計算されるパーセンテージ変化は (120-80)/80 = 50% になります。観測値の逆順、つまり 120 単位から 80 単位へのパーセンテージ変化は、(80-120)/120 = -33.3% になります。中間点の式には、A から B へのパーセンテージ変化が、B から A へのパーセンテージ変化と同じように絶対値で測定されるという利点があります。

ホットドッグの価格が 3 ドルから 1 ドルに変化し、需要量が 80 から 120 に変化したとします。中間点に対して測定された価格の変化率は (1-3)/2 = -100% となり、需要の価格弾力性は40%/(-100%) つまり -0.4 となります。価格弾力性の絶対値は単に価格弾力性と呼ばれるのが一般的です。これは、通常の (減少する) 需要曲線では弾力性は常に負であり、「マイナス」の部分は暗黙的に表すことができるためです。したがって、フットボール ファンの価格弾力性需要は 0.4 です。

• 関数の弾力性
• 弾力性（経済学）