エケランドの変分原理

による 関数 は、下半連続関数と連続関数 の和であるため、下半連続です。によって 固定され た1 つの座標を持つ関数を表し、 で あるため空でない セットを定義します 。 要素がこの定理の結論を満たすのは、次の場合のみです。 残っているのは、そのような要素を見つけることです。 ${\displaystyle G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$$${\displaystyle G(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)+\varepsilon \;d(x,y)}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).}$${\displaystyle z\in X,}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle G_{z}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~G(z,\cdot ):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}\;{\text{ および }}}$$ $${\displaystyle G^{z}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~G(\cdot ,z):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$$$${\displaystyle F(z)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:G^{z}(y)\leq f(z)\right\}~=~\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d(y,z)\leq f(z)\},}$$${\displaystyle z\in F(z).}$${\displaystyle v\in X}$${\displaystyle F(v)=\{v\}.}$

すべての${\displaystyle x\in X,}$

1. ${\displaystyle F(x)}$閉じている（下側が半連続であるため）${\displaystyle G^{x}\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,G(\cdot ,x):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$
2. もしそうなら${\displaystyle x\notin \operatorname {dom} f}$${\displaystyle F(x)=X;}$
3. 特に、​${\displaystyle x\in \operatorname {dom} f}$${\displaystyle x\in F(x)\subseteq \operatorname {dom} f;}$${\displaystyle x_{0}\in F\left(x_{0}\right)\subseteq \operatorname {dom} f;}$
4. もしそうなら${\displaystyle y\in F(x)}$${\displaystyle F(y)\subseteq F(x).}$

は実数であるため、下界であると仮定します。となるものを選びます。 と を定義して、と なるもの を選びます。 いずれの場合もとなり、 となり、となり、 となるので、 となるので、 となる 場合、となり、となることが保証されます 。${\displaystyle s_{0}=\inf _{x\in F\left(x_{0}\right)}f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1}\in F\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)<s_{0}+2^{-1}.}$${\displaystyle s_{n-1}}$${\displaystyle x_{n},}$$${\displaystyle s_{n}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf _{x\in F\left(x_{n}\right)}f(x)}$$${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.}$${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle s_{n}\leq f\left(x_{n+1}\right)}$${\displaystyle F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right),}$${\displaystyle s_{n+1}\geq s_{n}}$$${\displaystyle f\left(x_{n+2}\right)\geq s_{n+1}\geq s_{n}.}$$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right){\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\left\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d\left(y,x_{n}\right)\leq f\left(x_{n}\right)\right\}}$${\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},}$$${\displaystyle \varepsilon \;d\left(x_{n+1},x_{n}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n+1}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-s_{n-1}~<~{\frac {1}{2^{n}}}.}$$

となることから、すべての正の整数に対して、 はコーシー列である ことが分かる。 は完全な距離空間なので、が に収束するようなものが存在する。は列を含む閉集合なので、 任意の に対して、この列の極限も必ず含まれ、したがって、となり、特に、${\displaystyle n,p\geq 1,}$ $${\displaystyle d\left(x_{n+p},x_{n}\right)~\leq ~2\;{\frac {\varepsilon ^{-1}}{2^{n}}},}$$${\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle n\geq 0,}$${\displaystyle F\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,}$${\displaystyle v;}$${\displaystyle v\in F\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle v\in F\left(x_{0}\right).}$

定理は、 が示されれば成り立ちます。したがって 、とします。 残っているのは、 すべてに対して、が上記の に従うため、 が に収束することを意味します。も に収束するため、 距離空間の極限は一意である ため、 QED${\displaystyle F(v)=\{v\}.}$${\displaystyle x\in F(v)}$${\displaystyle x=v.}$${\displaystyle x\in F\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle n\geq 0,}$${\displaystyle \varepsilon \;d\left(x,x_{n}\right)\leq 2^{-n},}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x=v.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$