エーレンフェストモデル

エーレンフェスト拡散モデル（または犬ノミモデル）は、熱力学の第二法則を説明するためにタチアナ・エーレンフェストとポール・エーレンフェストによって提案された。^{[1] [2]}このモデルでは、2つの容器に入ったN個の粒子について考える。粒子は独立して、速度 λで容器を変える。X ( t ) = iを時刻tにおける1つの容器内の粒子数と定義すると、これは遷移速度λの誕生死滅過程となる。

• ${\displaystyle q_{i,i-1}=i\,\lambda }$i = 1, 2, ..., Nの場合
• ${\displaystyle q_{i,i+1}=(Ni\,)\lambda }$i = 0, 1, ..., N – 1の場合

そして均衡分布。 ${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}}$

マーク・カックは1947年に、システムの初期状態が平衡状態でない場合、エントロピーは次のように表されることを証明した。

${\displaystyle H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

単調増加します（H定理）。これは均衡分布への収束の結果です。

最初はすべての粒子が容器の 1 つに入っているとします。時間の経過とともに、この容器内の粒子の数は、その状態の近くで安定することが予想されます (容器にはほぼ同じ数の粒子が含まれます)。ただし、数学的な観点からは、初期状態に戻ることは可能です (ほぼ確実ですらあります)。平均回帰定理から、初期状態に戻るまでの予想時間も有限であり、 であることがわかります。スターリングの近似を使用すると、平衡状態 (容器内の粒子数が等しい) から開始する場合、平衡に戻るまでの予想時間は漸近的に に等しいことがわかります。粒子が 1 秒に 1 個の速度で容器を変更すると仮定すると、粒子の特定のケースでは、平衡状態から開始すると、平衡への復帰は数秒で発生すると予想されますが、一方の容器の構成から開始すると、もう一方の容器では、その状態に戻るまでに数年かかると予想されます。これは、理論的には確実であるものの、初期の非常に不均衡な状態への再発が観察される可能性は低いことを前提としています。 ${\displaystyle N/2}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\pi N/2}}}$${\displaystyle N=100}$${\displaystyle 13}$${\displaystyle 100}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\cdot 10^{22}}$

• Paul と Tatjana Ehrenfest: ボルツマンの H 定理を理解する。物理的時代、vol. 8 (1907)、311 ～ 314 ページ。^[1]
• FP Kelly：Ehrenfestモデル、Reversibility and Stochastic Networks、Wiley、Chichester、1979年、ISBN  0-471-27601-4、pp. 17–20。^[3]
• David O. Siegmund:拡散のエーレンフェスト モデル (数学)。ブリタニカ百科事典。^[4]

• カックリング
• オルンシュタイン・ウーレンベック過程