イーストンの定理

集合論において、イーストンの定理は冪集合の可能な基数に関する結果である。イーストン（1970）は（ロバート・M・ソロベイの結果を拡張して）強制法によって、 κが正規基数であるとき2 ^κの許容値に関する唯一の制約は

${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$

（ここでcf( α )はαの 共終性である）そして

${\displaystyle {\text{if }}\kappa <\lambda {\text{ then }}2^{\kappa }\leq 2^{\lambda }.}$

Gがクラス関数であり、その定義域が順序数で構成され、その値域が順序数で構成され、

1. Gは非減少であり、
2. の共終性はGの領域内の各αに対してより大きく、${\displaystyle \aleph_{G(\alpha)}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$
3. ${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$はGの領域内の各αに対して正則であり、

すると、ZFCのモデルは次のように表される。

${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{G(\alpha )}}$

Gのドメイン内のそれぞれについて。 ${\displaystyle \alpha}$

イーストンの定理の証明では、一般化連続体仮説を満たすモデルに対して、 適切なクラスの強制条件による強制を使用します。

定理の最初の 2 つの条件は必須です。条件 1 は基数のよく知られた特性であり、条件 2 はケーニッヒの定理から導かれます。

イーストンのモデルでは、特異基数のべき集合は、 2 ^{κ が}κ よりも大きな共終性を持ち、κ の非減少関数であるという条件と互換性のある、可能な限り最小の基数を持ちます。

シルバー (1975) は、非可算共終性を持つ特異基数は、一般化連続体仮説が成り立たない最小の基数にはなり得ないことを証明した。これは、イーストンの定理をすべての基数のクラスに拡張できないことを示している。PCF理論のプログラムは、特異基数に対するの可能な値に関する結果を与える。PCF 理論は、特異基数上の連続体関数の値が、より小さい基数上の値に強く影響されることを示しているが、イーストンの定理は、正則基数上の連続体関数の値が、より小さい基数上の値に弱くしか影響されないことを示している。 ${\displaystyle 2^{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$

• 特異基数仮説
• アレフ数
• ベス番号

• イーストン、W. (1970)、「正規基数のべき乗」、Ann. Math. Logic、1 (2): 139–178、doi :10.1016/0003-4843(70)90012-4
• シルバー、ジャック(1975)、「特異基数問題について」、国際数学者会議議事録 (バンクーバー、ブリティッシュコロンビア州、1974 年)、第 1 巻、モントリオール、ケベック州: カナダ数学会議、pp. 265–268、MR  0429564