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酒飲みのパラドックス（酒飲みの定理、酒飲みの原理、飲酒原理とも呼ばれる）は、古典的な述語論理の定理で、「パブに飲酒している人がいて、その人物が飲酒している場合、パブにいる全員が飲酒している」と述べることができる。これは数理論理学者レイモンド・スマリヤンによって広められ、彼は1978年の著書『この本の名前は何ですか？』[1]でこれを「飲酒原理」と呼んだ。
この文の一見矛盾した性質は、自然言語で通常述べられる方法に由来する。他の人に酒を飲ませる人がいるかもしれない、あるいは夜通し最後に酒を飲む人がいるかもしれない、という両方のことは直感に反しているように思える。最初の反論は、形式的な「もし～ならば」文と因果関係を混同することから生じる（ここで想定されている古典的論理とは異なり、前提と帰結の間に関連関係を要求する論理については、相関は因果関係を意味しない、または関連性論理を参照）。定理の形式的な文は時代を超越しており、ある瞬間に文が真である人物は、必ずしも他の瞬間に真である人物と同じではないため、2 番目の反論は排除される。[要出典]
この定理の正式な記述は
![{\displaystyle \exists x\in P,[D(x)\rightarrow \forall y\in P,D(y)].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee8af2fd1fcc61589096d190f951396ff68f3dc)
ここで、D は任意の述語であり、P は任意の空でない集合です。
証明
証明は、パブにいる全員が飲酒しているか、少なくともパブにいる1人は飲酒していないかのいずれかであることを認識することから始まります。したがって、考慮すべきケースは2つあります。[1] [2]
- みんなが飲んでいると仮定します。ある特定の人が飲んでいるなら、パブにいる全員も飲んでいると言うのは間違いではありません。なぜなら、全員が飲んでいるからです。全員が飲んでいるから、その人は必ず飲んでいるに違いありません。なぜなら、その人が飲めば全員が飲むので、全員にはその人も含まれるからです。[1] [2]
- そうでなければ、少なくとも 1 人は飲酒していない。飲酒しない人にとって、 「その特定の人が飲酒しているなら、パブにいる全員が飲酒している」という文は形式的に真である。その前提(「その特定の人が飲酒している」) は偽であるため、形式論理における物質的含意の性質により、この文は真である。形式論理では、「P ならば Q」は P が偽であれば常に真であると述べられている。 [1] [2] (このような種類の文は空虚に真であると言われている。)
上記のことをもう少し形式的に表現すると、もし全員が飲酒するなら、誰もが定理の妥当性の証人になれる、ということになります。そしてもし誰かが飲酒しないなら、その特定の飲酒しない個人が定理の妥当性の証人になれるのです。[3]
逆説性の説明
このパラドックスは、究極的には、Aが偽であるときは必ず文が真であるという形式論理の原理に基づいている。つまり、いかなる文も偽の文から導かれる[1]（ex falso quodlibet）。
このパラドックスにとって重要なのは、古典的（および直観主義的）論理における条件文が物質的条件文であるということです。物質的条件文は、 Bが真であるか、またはAが偽である場合にのみ真であるという特性を持ちます（古典的論理では、直観主義論理ではそうではありませんが、これも十分な条件です）。
したがって、ここで適用された「彼らが飲んでいるなら、みんなも飲んでいる」という文は、全員が飲んでいる場合には正しいとされ、もう一方の場合には、彼らが飲んでいない場合には正しいとされた。彼らの飲酒は、他の人の飲酒とは何の関係もなかったかもしれないのに。
歴史とバリエーション
スマリヤンは1978年の著書の中で、「飲酒の原則」という名前を大学院生に付けさせたとしている。[1]彼はまた、Dを他のより劇的な述語に置き換えることで得られる変種についても論じている。
- 「地球上には不妊症になった場合、全人類が絶滅する女性がいる。」スマリヤンは、この表現は哲学者ジョン・ベーコンとの会話から生まれたと書いている。[1]
- 原理の「二重」バージョン：「誰かが飲酒すれば、その人も飲酒する人が少なくとも一人はいる。」[1]
「スマリヤンの『酒飲みの原理』」または単に「酒飲みの原理」として、HP・バレンドレクト著『正しさの探求』（1996年）に、いくつかの機械証明とともに登場している。[2]それ以来、自動推論に関する出版物の例として頻繁に登場し、証明支援システムの表現力と対比されることもある。[4]
空でないドメイン
空の領域が許容される設定では、飲酒者のパラドックスは次のように定式化される必要がある。[5]
集合Pは以下を満たす
![{\displaystyle \exists x\in P.\ [D(x)\rightarrow \forall y\in P.\ D(y)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db18168b2ba4e5820c506d949ff69bbf96d43806)
空でない場合に限ります。
あるいは言葉で言うと:
- パブに誰かがいる場合に限り、その人が飲んでいるのであれば、パブにいる全員が飲んでいるということになります。
参照
参考文献
- ^ abcdefgh レイモンド・スマリヤン(1978)。この本の名前は何ですか? ドラキュラの謎とその他の論理パズル。プレンティス・ホール。第 14 章。何でも証明する方法。(トピック) 250。飲酒の原則。pp. 209-211。ISBN 0-13-955088-7。
- ^ abcd HP Barendregt (1996)。 「正しさの探求」。 SMC Research 1996 の画像(PDF)。スティヒティング数学センター。54 ～ 55ページ 。ISBN 978-90-6196-462-9. 2015年7月11日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2012年10月27日閲覧。
- ^ Peter J. Cameron (1999). 集合、論理、カテゴリー。Springer。p. 91。ISBN 978-1-85233-056-9。
- ^ Freek Wiedijk. 2001. Mizar Light for HOL Light. 第 14 回国際高階論理定理証明会議 (TPHOLs '01) の議事録、Richard J. Boulton および Paul B. Jackson (編)。Springer-Verlag、ロンドン、英国、378-394 ページ。
- ^ Martín Escardó、Paulo Oliva。「検索可能な集合、Dubuc-Penon のコンパクト性、全知原理、および Drinker Paradox」(PDF)。Computability in Europe 2010: 2。
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