排水密度

排水密度は、排水流域の物理的パラメータを表すために使用される量です。ロバート E. ホートンによって最初に説明された排水密度は、排水流域内のチャネルの全長を総面積で割ったものとして定義され、次の式で表されます。

${\displaystyle D_{d}={\frac {\sum {L}}{A_{盆地}}}}$

^[1]

この量は集水域の単位面積あたりの水路の平均長さを表し、単位は ですが、 に簡約されることもあります。 ${\displaystyle {\frac {\left[L\right]}{\left[L^{2}\right]}}}$${\displaystyle \left[L^{-1}\right]}$

排水密度は、気候と流域の物理的特性の両方に依存します。土壌の浸透性 (浸透の難しさ)と下にある岩石の種類は、流域の流出に影響します。不浸透性の地面または露出した岩盤は、表面水の流出を増加させ、したがって、より頻繁に小川が発生します。流域の他の特性が同じであれば、起伏の多い地域または起伏の大きい地域では、他の流域よりも排水密度が高くなります。

流域内の河川の総延長を決定する際には、常流河川と短水河川の両方を考慮する必要があります。^[2]流域に短水河川のみが含まれる場合、長水河川のみを使用して河川の総延長を計算すると、上記の式による排水密度はゼロと計算されます。計算で短水河川を無視すると、洪水時の流域の挙動が考慮されず、流域の排水特性を完全に表すことはできません。

排水密度は、排水流域の浸透性と透水性を示すとともに、ハイドログラフの形状に関係します。排水密度は、排水流域の 気候と物理的特性の両方に依存します。

排水密度が高いということは、分岐比も高いことを意味します。

排水密度は、集水域内の地表流の平均長さを近似するために使用できます。Horton（1945）は、排水密度の関数として地表流の平均長さを説明するために次の式を使用しました：^[2]

${\displaystyle l_{O}={\frac {1}{2D_{d}}}}$

ここで、 は長さの単位で表される地表流の長さであり、は長さの逆数の単位で表される集水域の排水密度です。 ${\displaystyle l_{0}}$${\displaystyle D_{d}}$

丘陵斜面の水路の形状を考慮して、ホートンは次の式も提案しました。

${\displaystyle l_{O}={\frac {1}{2D_{d}{\sqrt {1-\left({\frac {s_{c}}{s_{g}}}\right)^{2}}}}}}$

^[2]

は水路勾配で、 はその地域の地盤の平均勾配です。 ${\displaystyle s_{c}}$${\displaystyle s_{g}}$

流域は、水路、それらの水路に関連する斜面エリア、および水源エリアという 3 つの基本量によって定義できます。^[3]水路は、集水域を通じて水を効率的に運ぶ、明確に定義されたセグメントです。これらの地物を「水路」ではなく「水路」とラベル付けすることは、この地域の水路としての挙動を捉えるために連続的な水の流れがある必要がないことを示しています。アーサー・シュトレーラーの水路順序付けシステムによると、^[4]水路は単一の順序または順序の範囲として定義されていません。より低い順序の水路が組み合わさって、より高次の水路を形成します。関連する斜面エリアは、水路に直接傾斜している斜面です。^[3]斜面エリアでシステムに入り、浸透や蒸発散によって失われなかった降水は、水路に入ります。水源エリアは、単一の水路に関連する斜面の凹状の領域です。^[4]浸透や蒸発散によって失われなかった水源地域に入った降水は、水源地域を流れ、水路の源から水路に入ります。水路に関連する水源地域と丘陵斜面地域は、水路の源から排水される水源地域と、関連する丘陵斜面地域が水路の残りの部分に排水されるという点で区別されます。^[3]ストラーラーの水路順序付けシステムによると、すべての水源地域は、一次水路の定義により、一次水路に排水されます。^[4]

Bras et al. (1991) ^[5]は、水路形成に必要な条件について説明しています。水路形成は、排水システムの形成と進化に密接に結びついた概念であり、集水域の排水密度に影響を及ぼします。彼らが提案する関係は、小さな摂動に対する特定の丘陵斜面の挙動を決定します。彼らは、水源面積、水源傾斜、およびこの水源面積を通る堆積物フラックスの関係として次の式を提案しています。

${\displaystyle a{\frac {\partial F}{\partial S}}{\frac {dS}{da}}=F-a{\frac {\partial F}{\partial a}}}$

^[5]

ここで、Fは堆積物のフラックス、Sはソース領域の傾斜、aはソース領域です。この関係の右辺は、チャネルの安定性または不安定性を決定します。方程式の右辺がゼロより大きい場合、丘陵斜面は安定しており、小さな侵食イベントなどの小さな変動はチャネルに発展しません。逆に、方程式の右辺がゼロより小さい場合、Bras ら^[5]は、丘陵斜面が不安定であると判定し、リルなどの小さな侵食構造が成長してチャネルを形成し、流域の排水密度を増加させる傾向があります。この意味で、「不安定」は、丘陵斜面の勾配が安息角よりも大きく、したがって質量損失の影響を受けやすいという意味で使用されているのではなく、シートフローやチャネルフローなどの河川侵食プロセスが切り込みと侵食を行って単一のチャネルを形成する傾向があります。^[5]したがって、水源地域、または潜在的な水源地域の特徴は、排水密度と流域の進化に影響を与えます。^[5]

排水密度は水収支方程式と結びついています。

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=R+G_{i}-G_{o}-G_{s}-ET-Q_{w}}$

^[6]

ここで、 は貯水池貯留量の変化、Rは降水量、ETは蒸発散量、G _iとG _oはそれぞれ流域に出入りする地下水フラックス、 G _sは河川への地下水流出量、Q _wは井戸を通した流域からの地下水流出量です。排水密度は貯留項と流出項に関係します。排水密度は、水が地形上を運ばれる効率に関係します。水は、丘陵斜面よりも水路を通ってはるかに速く運ばれます。これは、飽和した地上の流れは、植生や地中の隙間によって間引かれ、妨げられるため遅いためです。 ^[7]その結果、排水密度が比較的高い流域は、排水密度が高い流域よりも効率的に排水されます。^[7]高密度流域では排水システムがより広範囲にわたるため、地下水が流入する降水は、平均して、流れの遅い丘陵斜面を短い距離移動してから流れの速い水路に到達し、より短時間で水路を通って流域から排出されます。逆に、排水密度の低い流域に入る降水は、流れの遅い丘陵斜面を長い距離移動するため、流域から排出されるまでに時間がかかります。^[7]${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}}$

チャールズ・カールストンは、1963 年に発表した排水密度と流量に関する論文で、河川への基底流量が流域の排水密度と反比例関係にあることを発見しました。

${\displaystyle Q_{baseflow}\propto {D_{d}}^{-2}}$

^[8]

この式は、排水密度が浸透に与える影響を表しています。排水密度が増加すると、基底流量に寄与する浸透が減少するため、特定の流域での河川への基底流量が減少します。^[8]降雨直後の降雨時に流域に入る水の多くは、河川を通ってすぐに流出し、基底流量に寄与する浸透にはなりません。グレゴリーとウォーリング（1968）は、流域を通る平均流量が排水密度の2乗に比例することを発見しました。

${\displaystyle Q_{runoff}\propto D_{d}^{2}}$

^[9]

この関係は、排水密度の高い環境では、流域を通じて水がより効率的に輸送されることを示しています。^[7]排水密度が比較的低い環境では、この関係によって予測される平均流量が低くなるのは、表面流出が斜面を移動する時間が長くなり、浸透が発生する時間が長くなるためです。浸透が増加すると、水収支方程式によると表面流出が減少することになります。^[6]

これら2つの式は互いに一致しており、水収支式に従っています。式によると、排水密度の高い流域では、表面流出の流量への寄与は大きくなり、基底流からの寄与は小さくなります。逆に、排水密度の低い流域では、基底流からの寄与が大きく、地表流からの寄与は小さくなります。^{[8] [9]}

集水域を排水する中央河川の流量は排水密度を反映しており、ハイドログラフと密接に結びついているため、暴風雨後の集水域の洪水挙動を予測するための有用な診断となります。^[7]地表流が移動する物質は、集水域から水が流出する速度に影響を与える要因の1つです。水やその他の流動物質を効率的に運ぶために形成された水路と比較して、丘陵斜面の上を流れる水は大幅に遅くなります。^[7]排水密度の逆数の半分を地表流の平均長さとするHortonの解釈によると^[2]、高排水環境の地表流は、より短い範囲で流れの速い水路に早く到達することを意味しています。ハイドログラフでは、ピークはより高く、より短い範囲で発生します。このよりコンパクトで高いピークは、しばしば「派手」であると呼ばれます。^[7]

降水量グラフのピークに対する水位グラフのタイミングは、排水密度によって左右される。^[7]暴風雨時に排水量の多い流域に入る水は、比較的速く水路に到達し、高速の水路を通って比較的短時間で流域の出口まで移動する。逆に、排水密度の低い流域に入る水は、平均して低速の斜面を長い距離移動して水路に到達しなければならない。その結果、水が集水域の出口に到達するまでに時間がかかる。降水量グラフのピークと水位グラフの間の遅延時間は、排水密度と反比例関係にある。排水密度が増加すると、水は流域からより効率的に排水され、遅延時間は減少する。^[7]

排水密度がハイドログラフに及ぼすもう 1 つの影響は、暴風雨後の下降枝の急勾配です。これは、暴風雨が地表流と基底流の両方に影響を及ぼすためです。 ^{[7] [10]}下降枝はハイドログラフ曲線のピークの後に発生し、地表流が周囲レベルまで減少しているときに発生します。排水システムが高いほど、地表流はより早く水路に到達するため、下降枝の広がりは狭くなります。基底流はハイドログラフのもう 1 つの要因です。水路への基底流のピークは、急流ピークの後に発生します。これは、地下水の流れが急流よりもはるかに遅いためです。基底流のピークは急流ピークの後に発生するため、基底流のピークが下降枝の形状に影響を及ぼします。^[10] Gregory と Walling によって提唱された比例関係によれば、^[9]排水密度が増加すると、ハイドログラフの下降枝に対する基底流の寄与は減少します。排水密度の高い流域で暴風雨が発生すると、中央の水路から流出する前に集水域の表面を流れる時間が短いため、浸透として地中に浸透する水は少なくなります。浸透として水に入る水が少ないため、基底流は下降枝にわずかな部分しか寄与しません。したがって、下降枝はかなり急勾配になります。逆に、排水システムの低いシステムでは、下降枝はより浅くなります。GregoryとWallingの関係^[9]によると、排水密度の減少は、水路への基底流の増加と、ハイドログラフのより緩やかな減少をもたらします。

モンゴメリーとディートリッヒ（1989）^[3]は、カリフォルニア州テネシー渓谷の流域を観察して、排水密度に関する次の式を決定した。

${\displaystyle D={\frac {w_{s}\rho _{w}R_{0}}{W^{\ast }\rho _{s}K_{z}\ sin\ \theta cos\ \theta }}\left[1-\left({\frac {tan\theta }{tan\psi }}\right)\right]^{-1}}$

^[3]

ここで、w _sは平均水源幅、ρ _wは水の密度、R ₀は平均降水量、W*は水路頭部の幅、ρ _sは土壌の飽和嵩密度、K _zは垂直飽和透水係数、θは水路頭部の勾配、φ は土壌の内部摩擦角です。

R ₀は平均降水量項であり、排水密度の気候への依存性を示しています。他のすべての要因が一定であれば、流域内の降水量の増加は排水密度の増加をもたらします。^[3]乾燥環境などで降水量が減少すると、排水密度が低下します。この式は、流域の物理的特性と岩相への依存性も示しています。粘土や固い岩石などの透水係数が低い材料^[6]は、より高い排水密度システムをもたらします。透水係数が低いため、浸透によって失われる水はほとんどなく、その水は流出としてシステムから出て、侵食に寄与する可能性があります。垂直透水係数が高い流域では、水はより効率的に地中に浸透し、飽和した地表流侵食に寄与しないため、水路システムがあまり発達せず、したがって排水密度が低くなります。^[3]

チャールズ・カールストン（1963）^[8]は、与えられた流域の平均年間洪水流出量Q2.33を流域密度の関数として表す式を決定した。カールストンは15の流域からのデータをプロットしたときに2つの量の間に相関関係を発見し、次の式を決定した。

${\displaystyle Q_{2.33}=1.3D^{2}}$

^[8]

ここで、Qは立方フィート/秒/平方マイルの単位で、D _{d は}逆マイルの単位です。この式から、排水流域は浸食によって調整され、この式が満たされるという結論が導き出されます。

流域における植生の存在は、排水密度にさまざまな影響を及ぼします。植生は、土壌の組成に関係なく、排水密度値の範囲を狭めるだけでなく、流域の源流域での地滑り^[11]を防ぎます。^[11]

植生は、流域の不安定な水源地域を安定させ、水路の形成を防ぐ。^[11]植物は、生育する斜面を安定させ、雨水しぶき、乾燥ほつれ、凍結融解などの物理的な侵食プロセスを引き起こす。 ^[11]種によって大きな違いはあるものの、植物の根は、土壌を所定の位置に保持する地下ネットワーク内で成長する。土壌が所定の位置に保持されるため、これらの物理的な方法による侵食を受けにくくなる。^[11]斜面の拡散は、植生被覆によって指数関数的に減少することがわかった。^[11]流域の水源地域の斜面を安定させることで、水路の形成は起こりにくくなる。水路の形成につながる可能性のある侵食プロセスが防止される。土壌の強度が増すと、表面流出侵食も防止され、水路の形成が一旦始まると、その進行が妨げられる。^[11]

流域規模では、流域内の水路は少なく、排水密度は植生のないシステムよりも低くなります。しかし、植生が排水密度を低下させる効果は無制限ではありません。植生の被覆率が高い場合、被覆率の増加の影響は減少します。この影響により、植生によってもたらされる排水密度の全体的な減少には上限が課せられます。^[11]

植生はまた、様々な土壌組成の流域の排水密度値の範囲を狭めます。^[11]植生のない流域では、排水密度が低いものから高いものまで、幅広い範囲になる可能性があります。排水密度は、水路が形成される容易さと関係しています。モンゴメリーとディートリッヒの式によると、排水密度は垂直透水係数の関数です。砂などの粗粒の堆積物は透水係数が高く、式によると、透水係数の低い細かいシルトで形成されたシステムよりも比較的高い排水密度システムを形成すると予測されます。^[6]

森林火災は、流域の排水密度に間接的な役割を果たします。自然および人工の森林火災は、既存の植生の一部またはすべてを破壊し、植物とその根がもたらす安定性を奪います。流域内の新たに不安定になった丘陵斜面は、その後、チャネル形成プロセスの影響を受けやすくなり、植生が以前の状態に戻るまで流域の排水密度が増加する可能性があります。植物の種類とそれに伴う植物の根の深さと密度によって、土壌がどの程度強く保持されるか、および森林火災が植生を殺して除去する強度が決まります。コンピューターシミュレーション実験では、森林火災が頻繁に発生する地域では排水密度が高くなることが確認されています。^[11]

集水域を排水する中央河川の流量は排水密度を反映しており、ハイドログラフと密接に結びついているため、暴風雨後の集水域の洪水挙動を予測するための有用な診断となります。 ^[7]地表流が移動する物質は、集水域から水が流出する速度に影響を与える要因の 1 つです。水は、水やその他の流動物質を効率的に運ぶために形成された水路と比較して、丘陵斜面を流れる速度が大幅に遅くなります。排水密度の逆数の半分を地表流の平均長さとする Horton の解釈^[2]によると、高排水環境における地表流は、より短い範囲で流れの速い水路に早く到達することを意味します。ハイドログラフでは、ピークはより高く、より短い範囲で発生します。このよりコンパクトで高いピークは、しばしば「派手」と呼ばれます。^[7]

降水量グラフのピークに対する水位グラフのタイミングは、排水密度によって左右される。^[7]暴風雨時に排水量の多い流域に入る水は、比較的速く水路に到達し、高速の水路を通って比較的短時間で流域の出口まで移動する。逆に、排水密度の低い流域に入る水は、平均して低速の斜面を長い距離移動して水路に到達しなければならない。その結果、水が集水域の出口に到達するまでに時間がかかる。降水量グラフのピークと水位グラフの間の遅延時間は、排水密度と反比例関係にある。排水密度が増加すると、水は流域からより効率的に排水され、遅延時間は減少する。^[7]

排水密度がハイドログラフに及ぼすもう 1 つの影響は、暴風雨後の下降枝の急勾配です。これは、暴風雨が地表流と基底流の両方に影響を及ぼすためです。^{[7] [10]}下降枝はハイドログラフ曲線のピークの後に発生し、地表流が周囲レベルまで減少しているときに発生します。排水システムが高いほど、地表流はより早く水路に到達するため、下降枝の広がりは狭くなります。基底流はハイドログラフのもう 1 つの要因です。水路への基底流のピークは、急流ピークの後に発生します。これは、地下水の流れが急流よりもはるかに遅いためです。^[10]基底流のピークは急流ピークの後に発生するため、基底流のピークが下降枝の形状に影響を及ぼします。4 Gregory と Walling によって提唱された比例関係によれば、^[9]排水密度が増加すると、ハイドログラフの下降枝に対する基底流の寄与は減少します。排水密度の高い流域で暴風雨が発生すると、中央の水路から流出する前に集水域の表面を流れる時間が短いため、浸透として地中に浸透する水は少なくなります。浸透として水に入る水が少ないため、基底流は下降枝にわずかな部分しか寄与しません。したがって、下降枝はかなり急勾配になります。逆に、排水システムの低いシステムでは、下降枝はより浅くなります。GregoryとWallingの関係^[9]によると、排水密度の減少は、水路への基底流の増加と、ハイドログラフのより緩やかな減少をもたらします。

排水密度も気候変動の影響を受ける可能性がある。LangbeinとSchumm（1958）9は、集水域を通る堆積物の流出速度を降水量の関数として表す式を提案している。

${\displaystyle P={\frac {aR^{\alpha }}{1+bR^{\gamma }}}}$

^[12]

ここで、Pは堆積量、Rは平均有効降雨量、α〜 2.3、γ〜 3.33、aとb は単位によって異なる。この式のグラフは、10 ～ 14 インチで最大値を示し、ピークの両側で急激に減少している。有効降雨量が少ない場合、丘陵斜面を侵食する降雨量が少ないため、堆積量も少なくなる。有効降雨量が 10 ～ 14 インチを超える場合、堆積量の減少は植生被覆の増加の結果であると解釈される。^[12]降水量の増加は、より密な植生被覆をサポートし、地表流やその他の物理的侵食を防ぐ。この結果は、植生が侵食と水路形成に与える影響に関するイスタンブールオグルとブラスの調査結果と一致している。^[11]

ユタ州ケインビルのバッドランズは、排水密度が極めて高い地域としてよく挙げられます。この地域は、急勾配、高起伏、乾燥した気候、そして植生が全くないことが特徴です。^{[13] [7]}丘陵斜面の傾斜は安息角よりも大きいことが多いため、ケインビルのバッドランズにおける侵食の主な過程は土砂崩れです。^[13]斜面に安定性を与え、安息角を高めて土砂崩れを防ぐ植生はありません。しかし、安息角より下の地域でも、一般的には大きな角度になっており、次の関係式に従うと、丘陵斜面の拡散は依然として大きな侵食源となっています。

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial t}}=K_{s}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}$ ここで、K _sは丘陵斜面の拡散係数、 zは丘陵斜面の標高、x は水平距離です。

ケインビル・バッドランズの排水密度の範囲は、降水量の少ない環境における排水密度の複雑な性質を物語っています。^[11]アラン・ハワード（1996）は、この地域に関する研究で、異なる流域での起伏角の増加の影響が排水密度に一定の影響を与えないことを発見しました。^[13]起伏が比較的低い地域では、排水密度と起伏は正の相関関係にあります。これは、起伏比が高いしきい値に達するまで続き、傾斜比の増加に伴い排水密度が減少します。^[13]ハワードは、これを水路を支えるのに必要な臨界水源面積の増加の結果であると解釈しています。傾斜が大きいほど、侵食はより速く、より効率的に、より少ない水路に流れ込みます。^[13]水路の数が少ないほど、流域の排水密度は小さくなります。

ケインビル・バッドランズの一部を写したこの定性的な地形図は、乾燥環境における広範な排水ネットワークを示しています。モンゴメリーとディートリッヒによる排水流域の基本部分の定義^[3]に関連して、各水路の水源領域は比較的非常に小さいため、多数の水路が形成されます。ケインビル・バッドランズの画像には、植生がほとんどなく、水路が多数あることが示されています。ケインビル・バッドランズは乾燥環境にあり、年間平均降水量は125mmです。^[13]この降水量の少なさは、モンゴメリーとディートリッヒの排水密度の式とは対照的です。この式では、降雨量が少ない場所では排水密度も低くなると予測されています。^[3]この動作は、ラングバインとシュムの浸食率を降雨量の関数として表したものとより一致しています。^[12]この式によれば、侵食は降水量とともに増加し、降水量が植生を安定させることができるレベルに達するまで続く。ケインビル・バッドランズの画像に植生がほとんど見られないことは、この地域の降雨量が植生が維持できる臨界降雨量を下回っていることを意味している。

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