ドンスカーの定理

確率論において、モンロー・D・ドンスカーにちなんで名付けられたドンスカーの定理（ドンスカーの不変原理、または関数中心極限定理とも呼ばれる）は、経験分布関数の中心極限定理の機能的拡張である。具体的には、この定理は、経験分布関数を適切に中心化およびスケール化したバージョンは、ガウス過程に収束することを述べている。

を平均0、分散1の独立かつ同一分布（iid）のランダム変数の列とする。 とする。確率過程はランダムウォークとして知られている。拡散的に再スケールされたランダムウォーク（部分和過程）を次のように定義する。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

中心極限定理は、 が標準的なガウス分布のランダム変数に収束することを主張する。ドンスカー不変原理^{[1] [2]}は、この収束を関数 全体に拡張する。より正確には、現代の形でドンスカー不変原理は次のように述べている。ランダム変数がスコロホッド空間の値を取るとき、ランダム関数 は標準的なブラウン運動に収束することを主張する。${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ ${\displaystyle W(1)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$${\displaystyle W^{(n)}}$ ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$${\displaystyle n\to \infty .}$

F _{n を}分布関数Fを持つiid 確率変数の列の 経験分布関数とする。F _nの中心化およびスケール化されたバージョンを次のように 定義する。${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

x  ∈  Rでインデックス付けされます。古典的な中心極限定理により、 x を固定した場合、ランダム変数G _n ( x ) は、サンプルサイズnが大きくなるにつれて、平均がゼロで分散がF ( x )(1 −  F ( x ))であるガウス（正規）ランダム変数G ( x )に分布収束します。

定理（ドンスカー、スコロホッド、コルモゴロフ）スコロホッド空間のランダム要素としてのG _n ( x )の列は、平均がゼロで共分散が次式で表される ガウス過程Gに分布収束する。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$${\displaystyle {F}(t).}$

プロセスG ( x )はB ( F ( x ))と表すことができます。ここで、 Bは単位区間上の 標準ブラウン橋です。

連続確率分布の場合、逆変換によって分布が 上で均一になるケースに簡約されます。 ${\displaystyle [0,1]}$

任意の有限の時間シーケンスが与えられた場合、 は平均と分散 を持つ二項分布として分布します。 ${\displaystyle 0<t_{1}$${\displaystyle NF_{N}(t_{1})}$${\displaystyle Nt_{1}}$${\displaystyle Nt_{1}(1-t_{1})}$

同様に、 の結合分布は多項分布です。ここで、多項分布の中心極限近似は、が分布で の共分散行列を持つガウス過程に収束することを示しています。このガウス過程は、ブラウン橋の共分散行列とまったく同じです。 ${\displaystyle F_{N}(t_{1}),F_{N}(t_{2}),\dots ,F_{N}(t_{n})}$${\displaystyle \lim _{N}{\sqrt {N}}(F_{N}(t_{i})-t_{i})}$${\displaystyle \min(t_{i},t_{j})-t_{i}t_{j}}$

コルモゴロフ（1933）は、Fが連続である場合、最大値と絶対値の最大値は、ブラウン橋B（t）の同じ関数の法則に分布収束することを示した（コルモゴロフ-スミルノフ検定を参照）。1949年にドゥーブは、分布収束がより一般的な関数にも当てはまるかどうかを問い、適切な関数空間におけるランダム関数の弱収束の問題を定式化しました。^[3]${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$

1952年にドンスカーはドゥーブ・コルモゴロフのヒューリスティックアプローチの一般的な拡張を（完全に正確ではないが）^{[4]で述べ、証明した。原著論文では、ドンスカーは、} G _nのブラウン橋への収束則が、区間 [0,1] でのtの一様収束に関して一様 [0,1]分布に対して成立することを証明した。^[2]

しかし、ドンスカーによる定式化は、不連続過程の関数の測定可能性の問題のため、完全に正しいものではなかった。1956年にスコロホードとコルモゴロフは、[0,1]上のcàdlàg関数の空間上にスコロホード計量と呼ばれる可分計量dを定義し、dの連続関数への収束がsupノルムの収束と等価になるようにし、G _nがブラウン橋 に法則的に収束することを示した。${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$

後にダドリーはドンスカーの結果を再定式化し、測定可能性の問題とスコロホッド計量の必要性を回避した。^{[4]によれば、} X _i , iid [0,1]に一様で、サンプル連続なブラウン橋の列B _{n が}存在し、

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty}}$

は測定可能であり、確率的に0 に収束します。この結果の改良版であり、収束率についてより詳細な情報を提供するのが、Komlós–Major–Tusnády 近似です。

• グリヴェンコ・カンテリ定理
• コルモゴロフ・スミルノフ検定