ディクソンの正体

数学において、ディクソンの恒等式（またはディクソンの定理、ディクソンの公式）は、AC ディクソンによって証明された、互いに関連し合ういくつかの異なる恒等式のいずれかであり、3 つの二項係数の積の有限和を含むものもあれば、超幾何和を評価するものもある。これらの恒等式は、マクマホンのマスター定理から導かれることで有名であり、現在ではコンピュータアルゴリズムによって日常的に証明することができる（Ekhad 1990 ）。

（ディクソン 1891 ）による元のアイデンティティは

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}$

ディクソンの同一性とも呼ばれる一般化は、

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}$

ここで、 a、b、cは非負整数である（Wilf 1994 、p. 156）。左辺の和は、終端する均衡のとれた超幾何級数として表すことができる。 

${\displaystyle {b+c \choose ba}{c+a \choose ca}{}_{3}F_{2}(-2a,-ab,-ac;1+ba,1+ca;1)}$

そして、この恒等式は、 ( Dixon 1902 )から、1 における均衡のとれた₃ F ₂一般化超幾何級数を評価する Dixon の定理の極限ケース (a が整数に近づくとき) として導かれる。

${\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+ab,1+ac;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-bc)\Gamma (1+ab)\Gamma (1+ac)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+abc)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}$

これは Re(1 + 1 ⁄ 2 a − b − c ) > 0 の場合に成り立ちます。c が − ∞ に近づくと、− 1での超幾何関数₂ F _1のKummer の公式に帰着します。Dixonの定理はSelberg 積分の評価から導き出すことができます。

q-ポッホハマー記号を用いた基本超幾何級数に対するディクソン公式のq-類似式は、次のように表される。

${\displaystyle \;_{4}\varphi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}$

ただし、| qa ^1/2 / bc | < 1。

• ディクソン、AC（1891）「二項定理によるある展開における係数の立方和について」、Messenger of Mathematics、20：79–80、JFM 22.0258.01 

• Dixon, AC (1902). 「ある級数の総和」 . Proc. London Math. Soc . 35 (1): 284– 291. doi : 10.1112/plms/s1-35.1.284 . JFM 34.0490.02 . 
• Gessel, Ira ; Stanton, Dennis (1985). "Saalschütz と Dixon の定理の簡潔な証明" . Journal of Combinatorial Theory, Series A . 38 (1): 87– 90. doi : 10.1016/0097-3165(85)90026-3 . ISSN 1096-0899 . MR 0773560 . Zbl 0559.05008 .   
• Ekhad, Shalosh B. (1990)、「ディクソンの定理の非常に短い証明」、Journal of Combinatorial Theory, Series A、54 (1): 141–142、doi : 10.1016/0097-3165(90)90014-N、ISSN 1096-0899、MR 1051787、Zbl 0707.05007   
• Ward, James (1991). 「ディクソンの恒等式の100年」. Irish Mathematical Society Bulletin . 0027 (27): 46–54 . doi : 10.33232/BIMS.0027.46.54 . ISSN 0791-5578 . MR 1185413. Zbl 0795.01009 .   
• Mikic, Jovan (2016). 「ディクソンの同一性の証明」 . J. Int. Seq . 19 : #16.5.3.

• Wilf, Herbert S. (1994), Generating functionology (第2 版), ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4、Zbl 0831.05001