変位ポアソン分布

変位ポアソン分布

確率質量関数 およびのいくつかの値に対する変位ポアソン分布。 では、ポアソン分布が回復されます。確率質量関数は整数値でのみ定義されます。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=0}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$、${\displaystyle r\in (-\infty ,\infty )}$
サポート	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$
平均	${\displaystyle \lambda -r}$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}\left\lceil \lambda -r\right\rceil -1,\left\lfloor \lambda -r\right\rfloor &{\text{if }}\lambda \geq r+1\\0&{\text{if }}\lambda <r+1\\\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle \lambda}$
MGF の	${\displaystyle e^{\lambda \left(e^{t-1}\right)-tr}\cdot {\dfrac {I\left(r+s,\lambda e^{t}\right)}{I\left(r+s,\lambda \right)}}}$、  ${\displaystyle I\left(r,\lambda \right)=\sum _{y=r}^{\infty }{\dfrac {e^{-\lambda }\lambda ^{y}}{y!} }}$ が負の整数の とき、これは${\displaystyle r}$${\displaystyle e^{\lambda \left(e^{t-1}\right)-tr}}$

統計学では、変位ポアソン分布はハイパーポアソン分布とも呼ばれ、ポアソン分布の一般化です。

確率質量関数は

${\displaystyle P(X=n)={\begin{cases}e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r,\lambda \right)}},\quad n=0,1,2,\ldots &{\text{if }}r\geq 0\\[10pt]e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r+s,\lambda \right)}},\quad n=s,s+1,s+2,\ldots &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、r は新しいパラメータです。ポアソン分布はr  = 0 で回復されます。以下はピアソンの不完全ガンマ関数です。 ${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle I\left(r,\lambda \right)}$

${\displaystyle I(r,\lambda )=\sum _{y=r}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{y}}{y!}},}$

ここで、sはrの整数部です。Staff ^[1]が示し​​た動機は、ポアソン分布における連続する確率の比（つまり ）はに対してで与えられ、変位ポアソン分布はこの比を に一般化するというものです。 ${\displaystyle P(X=n)/P(X=n-1)}$${\displaystyle \lambda /n}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \lambda /\left(n+r\right)}$

ポアソン分布の限界の1つは、等分散（変数の平均と分散が等しい）を仮定していることです。^[2]変位ポアソン分布は、次のような過小分散または過分散のデータをモデル化するのに役立ちます。

• 農作物畑における昆虫の分布^[3]
• 植物の花の数^[1]
• 自動車事故件数^[4 ]
• 文章中の単語や文の長さ。^[5]

• 変位ポアソン分布に従うランダム変数の場合、平均は に等しく、分散は に等しくなります。${\displaystyle \lambda -r}$${\displaystyle \lambda}$
• 変位ポアソン分布に従うランダム変数のモードは、 のとき、 および で制限される整数値です。のとき、 に単一のモードが存在します。${\displaystyle \lambda -r-1}$${\displaystyle \lambda -r}$${\displaystyle \lambda \geq r+1}$${\displaystyle \lambda <r+1}$${\displaystyle x=0}$
• 最初のキュムラント は に等しく、後続のキュムラントはすべてに等しい。${\displaystyle \kappa _{1}}$${\displaystyle \lambda -r}$${\displaystyle \kappa _{n},n\geq 2}$${\displaystyle \lambda }$