ディニの定理

数学の解析学の分野において、ディニの定理は、連続関数の単調な列がコンパクト空間上で点ごとに収束し、極限関数も連続である場合、収束は一様であるということを述べています。^[1]

がコンパクトな位相空間であり、が連続関数 に点ごとに収束する連続実数値関数の単調増加列（すべての場合およびに対して を意味する）である場合、収束は一様 である。が増加ではなく単調減少である場合にも同じ結論が成り立つ。この定理はウリッセ・ディーニにちなんで名付けられた。^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$

これは、点収束が一様収束を意味する数学上の数少ない状況の 1 つです。鍵となるのは、単調性によって暗示されるより強力な制御です。連続関数の一様極限は必然的に連続であるため、極限関数は連続している必要があります。極限関数の連続性は、他の仮説から推論することはできません ( を検討してください) 。 ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle [0,1]}$

が与えられているとします。各 について、、をとなるものの集合とします。各 は連続なので、各 は開いています (各 は連続関数の下で開集合の逆像であるため)。は単調増加、は単調減少なので、数列は昇順になります (つまり、すべての に対して)。は点ごとに に収束するので、コレクションは の開被覆になります。コンパクト性により、有限部分被覆が存在し、 は昇順なので、これらのうち最大のものも被覆です。したがって、となるような 正の整数が存在することがわかります。つまり、と が の点である場合、が期待どおりになります。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g_{n}(x)<\varepsilon }$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle (-\infty ,\varepsilon )}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle (g_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{N}=X}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$

• Bartle, Robert G.および Sherbert Donald R.(2000)「実解析入門、第 3 版」Wiley。p 238。– ゲージを使用した証明を示します。
• エドワーズ、チャールズ・ヘンリー（1994）[1973]。『上級微積分学』ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68336-2。
• グレイブス、ローレンス・マレー（2009）[1946]。実変数関数の理論。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-47434-2。
• フリードマン、アヴナー（2007）[1971]。『上級微積分学』ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45795-6。
• Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis、第3版、 Springer。単調増加の場合については、157ページの定理12.1を参照してください。
• Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis、第 3 版、 McGraw–Hill。単調減少の場合については、150 ページの定理 7.13 を参照してください。
• トムソン、ブライアン S.; ブルックナー、ジュディス B.;ブルックナー、アンドリュー M. (2008) [2001].初等実解析. ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8。