行列式法

数学において、行列式法は解析的数論における一連の手法のいずれかです。

この名前はロジャー・ヒース＝ブラウンによって造られたもので、この方法の中心となるのは特定の行列式を推定することであるという事実に由来しています。その主な用途は、有理数上で定義された代数多様体上またはその近くにある高さが制限された有理点の数の上限を与えることです。行列式法の主な新規性は、すべての実装において、得られた推定値が多様体を定義する多項式の係数に関して一様であり、多様体の次数と次元のみに依存することです。

行列式法のオリジナル版は、1989年にエンリコ・ボンビエリとジョナサン・ピラによって開発された。 ^[1]当初の文脈では、ボンビエリとピラの結果は平面の幾何学に大きく依存していたため、 にのみ適用された。ボンビエリ-ピラ版の行列式法は、後に実解析行列式法と呼ばれるようになった。オスカー・マーモンは2010年にボンビエリとピラの結果を一般化した。^[2]${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

ボンビエリとピラの結果は、曲線を定義する多項式に関して一様であるという点で斬新であった。ロジャー・ヒース＝ブラウンは2002年に、異なる議論を用いて、高次元でボンビエリとピラの類似の結果を得た^{[3] 。ヒース＝ブラウンのアプローチは、後に}局所p進行列式法と呼ばれるようになった。ヒース＝ブラウンの行列式法の主な用途は、いわゆる次元成長予想を解くことであった^{[4] [5] 。}

ボンビエリとピラの実解析的アプローチとヒース＝ブラウンの局所進アプローチの他に、ヒース＝ブラウンによる近似行列式法^[6]、サルバーガーの大域行列式法^{[7] 、 [8] 、およびディートマンとマーモンによる近似行列式法の新しい変種(双斉次に近い多項式に適用) [9]}などのアプローチもあります。${\displaystyle p}$

2012年に、この方法はHuayi Chenによってアラケロフ理論の言語で再定式化されました。 ^{[10] [11]}この定式化は2022年にChunhui Liuによってさらに研究されました。^[12]

2016年にスタンレー・ヤオ・シャオは、サルバーガーの大域的行列式法を重み付き射影空間の設定に一般化した^[13]。