デルジャガン近似

デルジャギン近似（または近接近似とも呼ばれる）は、ロシアの科学者ボリス・デルジャギンにちなんで名付けられ、有限サイズの物体間に働く力のプロファイルを、2つの平面半無限壁間の力のプロファイルで表します。^{[1]この近似は、2つの平面物体間の力を計算する方がはるかに簡単な場合が多いため、}コロイド粒子間の力を推定するために広く使用されています。デルジャギン近似は、2つの物体間の力F（h）を表面距離の関数として次のように表します^{[2] 。}

${\displaystyle F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),}$

ここで、W ( h ) は2つの平面壁間の単位面積あたりの相互作用エネルギー、R _{eff は有効半径です。2つの物体がそれぞれ半径}R ₁とR ₂の球体である場合、有効半径は次のように表されます。

${\displaystyle R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.}$

表面力装置（SFA）^[3]またはコロイドプローブ技術^[4]で測定された巨視的物体間の実験的な力のプロファイルは、F（h）/ Reff_の比として報告されることが多い。

2つの物体間の力F ( h )は相互作用自由エネルギーU ( h )と次のよう に関係している。

${\displaystyle F(h)=-{dU \over dh},}$

ここでhは表面間の距離である。逆に、力のプロファイルが分かっている場合、相互作用エネルギーは次のように評価できる。

${\displaystyle U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.}$

2つの平面壁を考えるとき、対応する量は単位面積あたりで表されます。分離圧力は単位面積あたりの力であり、微分で表すことができます。

${\displaystyle \Pi (h)=-{dW \over dh},}$

ここでW ( h )は単位面積あたりの表面自由エネルギーである。逆に、

${\displaystyle W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.}$

Derjaguin 近似の主な制限は、関係する物体のサイズよりもはるかに小さい距離、つまりh ≪ R ₁およびh ≪ R _{2 で}のみ有効であることです。さらに、これは連続体近似であるため、分子の長さスケールよりも大きな距離でも有効です。粗い表面が関係している場合でも、この近似は多くの状況で有効であることが示されています。^{[5]その有効範囲は、}表面粗さの特徴的なサイズ (例: 二乗平均平方根粗さ) よりも大きな距離に制限されます。

よく考慮される幾何学的形状は、半径Rの2つの同一の球間の相互作用を含み、有効半径は

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}$

半径Rの球と平面 との相互作用の場合、

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}$

上記の2つの関係は、上で示したR _effの式の特別なケースとして得ることができる。表面力装置で使用される直交する円筒の場合、

${\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}$

ここで、R ₁とR _{2 は}、関係する 2 つの円筒の曲率半径です。

例として、半径Rの2つの同一の球体間の力F ( h )を考えてみましょう。2つの球体の表面は、図に示すように、幅dr、半径rの微小な円板にスライスされていると考えられます。力は、2つの円板間の対応する膨張圧力の合計によって与えられます。

${\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}$

ここで、xは円板間の距離、dAは円板の面積である。この距離はx = h +2 yと表される。図に示す灰色の三角形に ピタゴラスの定理を適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle R^{2}=(R-y)^{2}+r^{2}.}$

この式を展開してy ≪ R であることに気づくと、円板の面積は次のように表せることがわかる。

${\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}$

力は次のように表される。

${\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}$

ここで、W ( h ) は上で導入した単位面積あたりの表面自由エネルギーです。上記の式を導入する際に、積分の上限が無限大に置き換えられましたが、これはh ≪ Rである限りほぼ正しいです。

2つの凸体の一般的な場合、有効半径は次のように表される^[6]。

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}$

ここで、R' _iとR" _{i は}、最も接近する距離の点で評価された、 i​​ = 1 と 2 の表面の主曲率半径であり、φ は、より小さな曲率半径を持つ円が張る平面間の角度である。物体が最も近い位置の周りで球形ではない場合、2 つの物体の間にトルクが発生し、 ^[6]で表されます。

${\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}$

どこ

${\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}$

2 つの球に対する上記の式は、R' _i = R" _i = R _iと設定することで復元されます。 この場合、トルクはゼロになります。

2 つの直交する円筒の式は、R' _i = R _iおよびR" _i → ∞ から得られます。この場合、反発力の場合、トルクは円筒を垂直に向ける傾向があります。引力の場合、トルクは円筒を一直線に並べる傾向があります。

これらの一般的な公式は、楕円体間の相互作用力を近似的に評価するために使用されてきた。^[7]

デルジャガン近似は、その単純さと汎用性からユニークな近似法です。この近似法を改良するために、2つの物体間の力のより正確な表現を得るために、表面要素積分法と表面積分アプローチが提案されました。これらの手順では、接近する表面の相対的な向きも考慮されます。^{[8] [9]}

• Zypman, FR (2006). 「コロイド面と粒子の相互作用力とエネルギーの正確な表現と原子間力顕微鏡への応用」J. Phys.: Condens. Matter . 8 (10): 2795–2803. Bibcode :2006JPCM...18.2795Z. doi :10.1088/0953-8984/18/10/005.