欠陥（統計）

統計学において、欠陥とは、統計モデルを別の統計モデルと比較するための尺度である。この概念は、1960年代にフランスの数学者リュシアン・ル・カンによって導入され、彼はこの概念を使用してブラックウェル・シャーマン・スタイン定理の近似バージョンを証明した。^{[1] [2]}密接に関連しているのは、 2つの統計モデル間の最大欠陥の疑似距離であるル・カン距離である。に対するモデルの欠陥がゼロである場合、はよりも優れている、より有益である、またはより強力であると言われる。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ル・カンは、確率測度の族を持つ確率空間よりも抽象的な統計モデルを定義した。彼はまた、「統計モデル」という用語を使用せず、代わりに「実験」という用語を使用した。1964年の出版物で、彼はパラメータセットに対する統計実験を、集合、単位を持つベクトル格子、および上の正規化された正関数の族からなる3つ組として紹介した。^{[3] [4]} 1986年の著書では、彼はと を省略した。^[5] この記事では、彼の1986年の定義に従い、一般化を強調するために彼の用語を使用している。 ${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle (X,E,(P_{\theta })_{\theta \in \Theta })}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (P_{\theta })_{\theta \in \Theta }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

をパラメータ空間とします。線形正関数 からなる抽象 L ₁空間(つまり、要素 に対しても成り立つバナッハ格子) が与えられます。実験 は、 となる形式の写像です。は によって誘導されるバンドなので、表記 を使用します。 に対して と書きます。共役ノルムを持つ L 空間の位相双対は、抽象 M 空間と呼ばれます。これは、に対してを通じて単位が定義される格子でもあります。 ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle (L,\|\cdot \|)}$${\displaystyle x,y\geq 0}$${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}:\Theta \to L}$${\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }}$${\displaystyle \|P_{\theta }\|=1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mu \in L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mu ^{+}=\mu \vee 0=\max(\mu ,0)}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \|u\|_{M}=\sup\{|\langle u,\mu \rangle |;\|\mu \|_{L}\leq 1\}}$${\displaystyle I\mu =\|\mu ^{+}\|_{L}-\|\mu ^{-}\|_{L}}$${\displaystyle \mu \in L}$

とを2つの実験およびの2つのL空間とすると、正のノルム保存線型写像、すなわちすべての に対してを遷移と呼ぶ。遷移の随伴は の双対空間から の双対空間への正の線型写像であり、の単位はistの単位の像となる。^[5]${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|T\mu ^{+}\|=\|\mu ^{+}\|}$${\displaystyle \mu \in L(A)}$${\displaystyle M_{B}}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle M_{A}}$${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle M_{A}}$${\displaystyle M_{B}}$

をパラメータ空間とし、をでインデックス付けされた 2 つの実験とします。Leとは対応する L 空間を表し、を からへのすべての遷移の集合とします。 ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle {\mathcal {E}}:\theta \to P_{\theta }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:\theta \to Q_{\theta }}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$

に対する の不足は、inf supによって定義される数です。 ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\inf \limits _{T\in {\mathcal {T}}}\sup \limits _{\theta \in \Theta }{\tfrac {1}{2}}\|Q_{\theta }-TP_{\theta }\|_{\text{TV}},}$^[6]

ここで、 は全変動ノルムを表します。係数は計算目的のみで、省略されることもあります。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{TV}}}$ ${\displaystyle \|\mu \|_{\text{TV}}=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

ル・カム距離は、次の擬似距離である。

${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\operatorname {max} \left(\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}),\delta ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})\right).}$

これにより同値関係が導かれ、 のとき、 とは同値であると言えます。の同値なクラスはの型とも呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C_{\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

多くの場合、およびの実験族に興味があります。 の場合、と は漸近的に同値であると言えます。 ${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})_{n}}$${\displaystyle \{P_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}}$${\displaystyle \{Q_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {F}}_{n})=0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})}$

をパラメータ空間とし、をによって誘導されるすべての型の集合とすると、 に関してル・カム距離は完全である。この条件は上に部分順序を誘導し、 は よりも優れている、より有益である、またはよりも強いと言われる。^[6]${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle E(\Theta )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Le Cam, Lucien (1986)。統計的意思決定理論における漸近的手法。Springer Series in Statistics。Springer、ニューヨーク。doi : 10.1007 /978-1-4612-4946-7。
• Le Cam, Lucien (1964). 「十分性と近似十分性」. Annals of Mathematical Statistics . 35 (4). Institute of Mathematical Statistics : 1419–1455. doi : 10.1214/aoms/1177700372 .
• Torgersen, Erik (1991).統計実験の比較. Cambridge University Press, イギリス. doi :10.1017/CBO9780511666353.